スピントロニクス理論の基礎/X-5 のバックアップ(No.2)

経路積分の導入 †

時刻 に にあった系が、
時刻 に にある確率が、
で表されるとする。

ファインマンの経路積分の考え方に依れば、

と を通る すべての経路 は、

その経路に沿った作用（ラグランジアンの時間積分） の を位相に持つ指数関数だけの寄与を に及ぼす。

すなわち、

&math( K(b,a)&\propto\sum_{\bm x(t)}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\bm x(t)]\right\}\\ &=\sum_{\bm x(t)}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b}dt\,\mathcal L[\bm x(t),\dot{\bm x}(t),t]\right\} );

である。

古典極限 †

ある経路 と少しだけ異なる とは、異なる位相を持って に寄与する。その位相差は、

&math(\frac{\delta S}{\hbar} =\frac{S[\bm x(t)+\delta\bm x(t)]-S[\bm x(t)]}{\hbar});

であるが、古典的な系（大きな系）では、小さな に対しても、 が に比べて非常に大きくなるため、 異なる経路の寄与は互いに打ち消し合い、多くの場合に総和をほぼゼロと見なすことができる。

唯一確率が打ち消さずに残るのは、 が の変化に対して停留値となる場合であり、その結果、古典的な系では を最小とする経路のみが実現されることになる。

ミクロな系では小さな に対して が と比較可能な大きさとなるために、 １つの経路のみが実現される形にはならず、「確率」が運動を支配することになる。

経路積分の時間分割 †

上記のような を定義できるとすれば、
時刻 に にあった系が、
時刻 に にある確率は、
途中の時刻 にいる点 を考えることで、

&math( K(c,a)=\int d\bm x_b K(c,b)K(b,a) );

と表すことができる。

これを推し進めると、
時刻 に にあった系が、
時刻 に にある確率は、
時間を 個の区間に分割することにより、

&math( K(N,0)=\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \prod_{n=0}^{N-1}K(n+1,n) );

と表せることになる。

が十分に大きく、 を十分に小さいと見なせる場合には、 その間にラグランジアン が大きく変化することはないであろう。

&math( \mathcal L(\bm x,\dot{\bm x}, t)\sim \mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big) );

したがって、

&math( K(n+1,n)\sim \frac{1}{A}\,\exp\left\{i\,\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\});

と書ける。ここで は規格化定数で、後でまた議論する。

これを代入した

&math( K(N,0)&=\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \prod_{n=0}^{N-1}\frac{1}{A}\,\exp\left\{i\,\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\}\\ &=\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \,\exp\left\{i\sum_{n=0}^{N-1}\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\}\\ &=\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{n=0}^{N-1}S(n+1,n)\right\}\\ );

により、経路積分の具体的な計算方法が判明した。

慣用的にこの積分を、

&math( K(N,0)&=\int \mathcal D\bm x \exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\bm x(t)]\right\}\\ &\equiv\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{n=0}^{N-1}S(n+1,n)\right\}\\ );

と書き表す。

シュレーディンガー方程式の導出 †