スピントロニクス理論の基礎/X-5 のバックアップソース(No.2)

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* 経路積分について [#f4b27e61]

** 経路積分の導入 [#ybcc7107]

時刻 &math(t=t_a); に &math(\bm x=\bm x_a); にあった系が、~
時刻 &math(t=t_b); に &math(\bm x=\bm x_b); にある確率が、~
&math(P(b,a)=|K(b,a)|^2); で表されるとする。

ファインマンの経路積分の考え方に依れば、

&math((t_a,\bm x_a)); と &math((t_b,\bm x_b)); を通る
すべての経路 &math(\bm x(t)); は、

その経路に沿った作用（ラグランジアンの時間積分）&math(S[\bm x(t)]); の 
&math(1/\hbar); を位相に持つ指数関数だけの寄与を &math(K); に及ぼす。

すなわち、

&math(
K(b,a)&\propto\sum_{\bm x(t)}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\bm x(t)]\right\}\\
&=\sum_{\bm x(t)}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b}dt\,\mathcal L[\bm x(t),\dot{\bm x}(t),t]\right\}
);

&math(P(b,a)=|K(b,a)|^2);

である。

** 古典極限 [#b1659215]

ある経路 &math(\bm x(t)); と少しだけ異なる &math(\bm x(t)+\delta\bm x(t)); 
とは、異なる位相を持って &math(K); に寄与する。その位相差は、

&math(\frac{\delta S}{\hbar}
=\frac{S[\bm x(t)+\delta\bm x(t)]-S[\bm x(t)]}{\hbar});

であるが、古典的な系（大きな系）では、小さな &math(\delta\bm x(t)); 
に対しても、&math(\delta S); が &math(\hbar); に比べて非常に大きくなるため、
異なる経路の寄与は互いに打ち消し合い、多くの場合に総和をほぼゼロと見なすことができる。

唯一確率が打ち消さずに残るのは、&math(S[\bm x(t)]); が &math(\bm x(t)); 
の変化に対して停留値となる場合であり、その結果、古典的な系では &math(S[\bm x(t)]); 
を最小とする経路のみが実現されることになる。

ミクロな系では小さな &math(\delta\bm x(t)); に対して
&math(\delta S); が &math(\hbar); と比較可能な大きさとなるために、
１つの経路のみが実現される形にはならず、「確率」が運動を支配することになる。

** 経路積分の時間分割 [#o5475c7e]

上記のような &math(K); を定義できるとすれば、~
時刻 &math(t=t_a); に &math(\bm x=\bm x_a); にあった系が、~
時刻 &math(t=t_c); に &math(\bm x=\bm x_c); にある確率は、~
途中の時刻 &math(t=t_b); にいる点 &math(\bm x=\bm x_b); を考えることで、~

&math(
K(c,a)=\int d\bm x_b K(c,b)K(b,a)
);

と表すことができる。

これを推し進めると、~
時刻 &math(t=t_0); に &math(\bm x=\bm x_a); にあった系が、~
時刻 &math(t=t_N); に &math(\bm x=\bm x_N); にある確率は、~
時間を &math(N); 個の区間に分割することにより、

&math(
K(N,0)=\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} \prod_{n=0}^{N-1}K(n+1,n)
);

と表せることになる。

&math(N); が十分に大きく、&math(t_{n+1}-t_n); を十分に小さいと見なせる場合には、
その間にラグランジアン &math(\mathcal L(\bm x,\dot{\bm x}, t)); 
が大きく変化することはないであろう。

&math(
\mathcal L(\bm x,\dot{\bm x}, t)\sim 
\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)
);

したがって、

&math(
K(n+1,n)\sim
\frac{1}{A}\,\exp\left\{i\,\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\});

と書ける。ここで &math(A); は規格化定数で、後でまた議論する。

これを代入した

&math(
K(N,0)&=\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} 
\prod_{n=0}^{N-1}\frac{1}{A}\,\exp\left\{i\,\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\}\\
&=\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} 
\,\exp\left\{i\sum_{n=0}^{N-1}\frac{t_{n+1}-t_n}{\hbar}\mathcal L\big(\frac{\bm x_{n+1}+\bm x_{n}}{2},\frac{\bm x_{n+1}-\bm x_{n}}{t_{n+1}-t_n}, \frac{t_{n+1}+t_n}{2}\big)\right\}\\
&=\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} 
\,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{n=0}^{N-1}S(n+1,n)\right\}\\
);

により、経路積分の具体的な計算方法が判明した。

慣用的にこの積分を、

&math(
K(N,0)&=\int \mathcal D\bm x \exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\bm x(t)]\right\}\\
&\equiv\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{A^N}\int d\bm x_1\int d\bm x_2\dots\int d\bm x_{N-1} 
\,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{n=0}^{N-1}S(n+1,n)\right\}\\
);

と書き表す。

** シュレーディンガー方程式の導出 [#pe60ef46]
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