スピントロニクス理論の基礎/X-6 のバックアップ(No.1)

まずは運動方程式 †

連続近似をする前の式からハミルトニアンを求めれば、

&math(H&=\sum_{\bm r}\left[\left\{-J_0\sum_{\bm a}\bm S(\bm r)\cdot\bm S(\bm r+\bm a)\right\}-\frac{1}{2}KS_z(\bm r)^2+\frac{1}{2}K_\perp S_y(\bm r)^2+\gamma B \hbar S_z(\bm r)\right]\\&=\sum_{\bm r}\left[\bm S(\bm r)\cdot\left\{\gamma B \hbar\bm e_z-J_0\sum_{\bm a}\bm S(\bm r+\bm a)\right\}-\frac{1}{2}KS_z(\bm r)^2+\frac{1}{2}K_\perp S_y(\bm r)^2\right]\\ );

ここから、

&math( \frac{\PD H}{\PD \bm S(\bm r)}&=-J_0\left\{\sum_{\bm a}\bm S(\bm r+\bm a)\right\}-K S_z(\bm r)\bm e_z+K_\perp S_y(\bm r)\bm e_y+\gamma B \hbar\bm e_z );

により、

&math( \dot{\bm S}&=\frac{1}{\hbar}\frac{\PD H}{\PD \bm S}\times \bm S-\frac{1}{\hbar}\frac{\alpha}{S}\bm S\times\dot{\bm S}\\&=\frac{1}{\hbar}\left[-J_0\left\{\sum_{\bm a}\bm S(\bm r+\bm a)\right\}-K S_z(\bm r)\bm e_z+K_\perp S_y(\bm r)\bm e_y+\gamma B \hbar\bm e_z+\frac{\alpha}{S}\dot{\bm S}\right]\times \bm S );

を得て、これがスピンの運動方程式となる。

• z軸が容易軸
• y軸が困難軸
• z軸に平行に外部磁場 B

シミュレーション (基本) †

• sx[i], sy[i], sz[i] : i番目のスピンの の x, y, z 成分
• dhx[i], dhy[i], dhz[i] : i番目のスピンの の x, y, z 成分
• dsx[i], dsy[i], dsz[i] : i番目のスピンの の x, y, z 成分
• dt : シミュレーション時間間隔

とすれば、シミュレーションの１回のイタレーションを

 dhx[i] = - J * (sx[i-1]+sx[i+1]) + A * dsx[i]
 dhy[i] = - J * (sy[i-1]+sy[i+1]) + A * dsy[i] + Kp * sy[i]
 dhz[i] = - J * (sz[i-1]+sz[i+1]) + A * dsz[i] - K  * sz[i] + B

 dsx[i] = dhy[i] * sz[i] - dhz[i] * sy[i]
 dsy[i] = dhz[i] * sx[i] - dhx[i] * sz[i]
 dsz[i] = dhx[i] * sy[i] - dhy[i] * sx[i]

 sx[i]+= dt * dsx[i]
 sy[i]+= dt * dsy[i]
 sz[i]+= dt * dsz[i]

とすれば良いことになる。
ただし J, A, Kp, K, B はそれぞれ対応する物理パラメータの次元と係数を少しごまかした物。

シミュレーション (注意点) †

上記計算を繰り返すと、dt を有限に取っているせいで の大きさが元の値から徐々にずれてしまう。

そこで、何回かイタレーションするたびに、 を正規化して正しい大きさに戻してやることにする。

 c = ss[i] != 0 ? ss[i]/sqrt(sx[i]^2+sy[i]^2+sz[i]^2) : 1
 sx[i] *= c
 sy[i] *= c
 sz[i] *= c

• ss[i] : i番目のスピンの大きさ

見られた現象 †

計算では全てのスピンの大きさを１として、 ランダムな初期値からの時間発展を追ってみた。

• 困難軸異方性のあるときの性質
  • 静止磁壁には２種類ある
    • x成分が正になる物と負になる物
  • 慣性が働く
    • 外部磁場を切ってもスピンのy軸成分に溜まったエネルギーが無くなるまで進み続ける
  • 磁場の弱いときは並進し、磁場の強いときは振動しながら並進する
• 困難軸異方性のあるときの磁壁間相互作用
  • x成分の正負で相互作用が異なる
    • 同じ符号の磁壁間には引力が働く
    • 異なる符号の磁壁間には斥力が働く
  • 外部磁場の中では異なる符号の磁壁がペアになった「磁壁対」が安定構造になる
    • 強い磁場では振動によりペアが生成される前に打ち消し合ってしまう
    • 弱い磁場では符号が決定してからペアが生成されるために磁壁対が自己形成する

などが見られた。

計算結果 †