線形代数Ｉ
ベクトルとは？ †
- 縦数ベクトル：
- 横数ベクトル：
- 幾何ベクトル：
- そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる
直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと１対１に対応させられる。
ベクトル空間とベクトル †
上記のように、
-
(スカラー倍)
-
(和)
が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、
その要素を「ベクトル」と言う。
詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。
n 次元数ベクトル空間 †
- 実数の集合を
-
次元（縦）実数ベクトル空間を
と書くことにする。
以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを
- 複素数の集合
-
次元複素数の集合
に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。
１次結合（線形結合） †
の形を
の「一次結合」と言う。
例１：
の一次結合：
,
,
例２：
は、
基本ベクトル
を用いて、
と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。
例３：
を
の一次結合で表せるか？というような問題が出されることがある。これは、
を満たす
は存在するか？という問題と同値である。
一次関係式 †
を
の「一次関係式」と呼び、特に
の場合を「自明な一次関係式」と呼ぶ。
一次独立 †
が非自明な一次関係式を持たないとき、
すなわち
の解が
しか存在しないとき、
は「１次独立（線形独立）」であると言う。
すなわち、
が１次独立であるかどうかを調べるには
を解けばよい。
一次従属 †
一次独立でないことを「一次従属である」と言う。
A が正方の時 †
以下の条件は同値である。
-
が一次独立
-
の解が
のみ
-
が正則
すなわち、
個の数ベクトルが一次独立であるかどうかを調べるには
を計算してみればよい。
線形空間 †
線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Ｉでは扱わない。
線形写像と表現行列 †
を与えると
を返すような関数
を考える。
すなわち
は様々な物が考えられるが、任意の
に対して、必ず１つだけ
が決まることが重要である。
のベクトル全てを、対応する
のベクトルに変換する、という意味で、このような関数を「写像」と呼ぶこともある。
例：
,
の時、例えば
として定義される
は、
を１組決めれば
が決まるため、
の写像となる。
線形写像 †
ある写像
が線形であるとは、任意の
および
に対して、
が成り立つことを言う。