ベクトル空間と線形写像 のバックアップソース(No.2)

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[[線形代数Ｉ]]

#contents

* ベクトルとは？ [#lddf658e]

- 縦数ベクトル：&math(\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}); 
- 横数ベクトル：&math(\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix});
- 幾何ベクトル：&math(\overrightarrow{\rm AB});
- そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる

直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと１対１に対応させられる。

* ベクトル空間とベクトル [#g900c89e]

上記のように、

- &math(k\bm a); (スカラー倍)
- &math(\bm a+\bm b); (和)

が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、~
その要素を「ベクトル」と言う。

詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。

* n 次元数ベクトル空間 [#y894dd16]

- 実数の集合を &math(\mathbb{R});
- &math(n); 次元（縦）実数ベクトル空間を &math(\mathbb{R}^n);

と書くことにする。

以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを

- 複素数の集合 &math(\mathbb C);
- &math(n); 次元複素数の集合 &math(\mathbb C^n);

に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。

* １次結合（線形結合） [#q7562ea7]

&math(c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \sum_{k=1}^r c_k\bm a_k); 

の形を &math(\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r); の「一次結合」と言う。

例１：

&math(\bm a, \bm b); の一次結合： &math(3\bm a+\bm b);, &math(\bm a-\bm b);, &math(-2\bm a);

例２：

&math(\bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n); は、
基本ベクトル &math(\bm e_1, \bm e_2, \dots, \bm e_n); を用いて、

&math(\bm a=\sum_{k=1}^ra_k\bm e_k); 

と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。

例３：

&math(\bm b); を &math(\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r); の一次結合で表せるか？というような問題が出されることがある。これは、

&math(\bm b=x_1\bm a_1+x_2 \bm a_2+ \dots+x_r \bm a_r = \Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_r\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_r\end{bmatrix}=A\bm x);

を満たす &math(\bm x); は存在するか？という問題と同値である。

* 一次関係式 [#zc86d62d]

&math(c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r =0); を &math(\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r); の「一次関係式」と呼び、特に &math(c_1=c_2=\dots=c_r=0); の場合を「自明な一次関係式」と呼ぶ。

* 一次独立 [#n9fdd841]

&math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_r); が非自明な一次関係式を持たないとき、~
すなわち &math(\Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Bigg]\bm x=\bm o); の解が &math(\bm x=\bm o); しか存在しないとき、~
&math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_r); は「１次独立（線形独立）」であると言う。

すなわち、&math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_r); が１次独立であるかどうかを調べるには &math(A\bm x=\bm o); を解けばよい。

* 一次従属 [#i67b37db]

一次独立でないことを「一次従属である」と言う。

* A が正方の時 [#p53f7b35]

以下の条件は同値である。

- &math(\bm a_1,\bm a_2, \dots,\bm a_n); が一次独立
- &math(A\bm x=\bm o); の解が &math(\bm x=\bm o); のみ
- &math(\rank A=n);
- &math(A); が正則
- &math(|A|\ne 0);

すなわち、&math(n); 個の数ベクトルが一次独立であるかどうかを調べるには &math(|A|); を計算してみればよい。

* 生成される集合 [#v85dcbc2]

** 直線の方程式 [#v24a633d]

** 平面の方程式 [#f6e0ae26]

** 空間図形とベクトル [#x090dd87]

* 線形空間 [#a3d996bb]

線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Ｉでは扱わない。

* 線形写像と表現行列 [#b96978d0]

&math(\bm a\in \mathbb R^n); を与えると &math(\bm a'\in \mathbb R^m); を返すような関数
&math(f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m); を考える。

すなわち &math(\bm a'=f(\bm a));

&math(f); は様々な物が考えられるが、任意の &math(\bm a); に対して、必ず１つだけ &math(\bm a'); が決まることが重要である。&math(\mathbb R^n); のベクトル全てを、対応する &math(\mathbb R^m); のベクトルに変換する、という意味で、このような関数を「写像」と呼ぶこともある。

例：

&math(\bm a=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in \mathbb R^2);, &math(\bm a'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}\in \mathbb R^3);
の時、例えば

&math(\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=f(\bm a)=\begin{bmatrix}2+x\sin y\\2^y\end{bmatrix});

として定義される &math(f); は、&math(x,y); を１組決めれば &math(x',y',z'); が決まるため、&math(\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^3); の写像となる。

* 線形写像 [#t0ef2d8b]

ある写像 &math(f); が線形であるとは、任意の &math(\bm a, \bm b\in \mathbb R^n); および &math(c\in \mathbb R); に対して、

- &math(f(\bm a+\bm b)=f(\bm a)+f(\bm b));
- &math(f(c\bm a)=cf(\bm a));

が成り立つことを言う。
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