線形代数Ｉ
ベクトルとは？ †
- 縦数ベクトル：
- 横数ベクトル：
- 幾何ベクトル：
- そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる
直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと１対１に対応させられる。
ベクトル空間とベクトル †
上記のように、
-
(スカラー倍)
-
(和)
が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、
その要素を「ベクトル」と言う。
詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。
集合について †
集合とは ： 「要素」を含む物
集合については、ある要素を含むか、含まないか、が主な興味となる。
を集合、
を要素とすると、
-
：
は
の３つの要素からなる集合である
-
：
が
に含まれる
-
：
なら
である
- すなわち
が
に含まれる
- あるいは
が
の部分集合である
-
：
かつ
演算が「内部で定義されている」ということ †
たとえば、
という集合を考える。
これは２つのベクトルを含む「ベクトルの集合」であるが、スカラー倍や和に対して「閉じていない」。
例：
したがって、こういう集合はベクトル空間とは言わない。
n 次元数ベクトル空間 †
- 実数の集合を
-
次元（縦）実数ベクトル空間を
と書くことにする。
以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを
- 複素数の集合
-
次元複素数の集合
に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。
１次結合（線形結合） †
の形を
の「一次結合」と言う。
例１：
の一次結合：
,
,
例２：
を
の一次結合で表せるか？というような問題が出されることがある。これは、
を満たす
は存在するか？という問題と同値である。
例３：
は、
基本ベクトル
の一次結合として、
と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。
一次独立 †
与えられた
に対して、
となるのが、
の時しかありえないなら、
を「１次独立である」と言う。
- どんなベクトルが与えられても
なら条件を満たすこと
- 与えられたベクトルによっては
でなくても条件を満たすこと
に注意せよ。
例：
一次従属 †
一次独立でないことを「一次従属である」と言う。
例：
は一次独立か、一次従属か？
例：
が一次従属であるとき・・・
一次独立と行列の階数 †
一次独立の条件は
の解が
しか存在しない、と言っても同じ。
が
以外の解を持つ、というのは、
この方程式の一般解が１以上の自由度を持つ、という意味だから、
-
が一次独立
- それらを並べた行列
の階数が列数
より小さい
は同値な条件となる。
一次独立かどうかを調べるには rank を求めてベクトルの数と比べればよい。
例：
が一次独立になる条件を求めよ。
したがって、
の時に一次従属であり、そうでなければ一次独立となる。
A が正方の時 †
以下の条件は同値である。
-
が一次独立
-
の解が
のみ
-
が正則
すなわち、
個の数ベクトルが一次独立であるかどうかを調べるには
を計算してみればよい。
一次独立の重要な性質 †
●
が一次独立なら
その部分集合も一次独立である
∵１列でも掃き出せない列があれば
となるから
●
が一次従属なら、そこにいくつかベクトルを加えた
も一次従属である
∵上の定理の対偶になっている
●
次元ベクトルを
本以上集めたら必ず一次従属になる
∵対応する行列
のランクは行数
より大きくならないから。
一次結合で生成される集合 †
直線の方程式 †
ある
に対して、
を満たす点の集合は原点を通り
に平行な直線となる。
（
である限り）
平面の方程式 †
ある
に対して、
を満たす点の集合は原点を通り
に平行な平面となる。
（
,
,
である限り）
空間を満たす †
ある
に対して、
を満たす点の集合は３次元空間を満たす。
（
,
, その他例外もある）
このような「例外」は
などのベクトルが一次従属である場合である。
-
本のベクトルが一次独立ならば、その一次結合は
次元空間を張る
- ベクトルが
本あってもそれらが一次従属ならば、その一次結合が
次元空間を張ることはない
（
次元
を張ることになる）
空間図形とベクトル †
配布プリントに従って学ぶ。
線形空間（ベクトル空間） †
線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Ｉでは扱わない。
線形写像と表現行列 †
を与えると
を返すような関数
を考える。
すなわち
は様々な物が考えられるが、任意の
に対して、必ず１つだけ
が決まることが重要である。
のベクトル全てを、対応する
のベクトルに変換する、という意味で、このような関数を「写像」と呼ぶこともある。
例：
,
の時、例えば
として定義される
は、
を１組決めれば
が決まるため、
の写像となる。
線形写像 †
ある写像
が線形であるとは、任意の
および
に対して、
が成り立つことを言う。