線形代数Ｉ
n 次元数ベクトルの標準内積 †
,
に対して、その標準内積を
として定義する。
内積の性質 †
標準内積について以下の性質を容易に確かめられる。
-
かつ
⇔
数学的にはこの４つの性質を持つ演算はすべて「内積」と考える。
すなわち、内積の定義の仕方には様々な物がある。
例：
も内積を定義する。
例：すぐには分かりにくいが、２次のベクトルに対して、
も内積を定義する。
（確かめてみよ）
以下で見る内積の性質は上記４つの条件のみを使って定義・証明可能であるから、
標準内積だけでなく、任意の内積について成立する。
ベクトルの大きさ †
より、任意の
に対して
を定義することができる。これを
のノルム（長さ・大きさ）と呼ぶ。
標準内積の場合：
Schwartz の不等式 †
(証明)
この２次式の判別式は負でなければならないから、
両者の正の平方根を取れば、与式を得る。
三角不等式 †
(証明)
(左辺)
両辺とも正なので、平方根を取れば与式を得る。
ベクトルの為す角 †
が共にゼロでないとき、シュワルツの不等式より