線形代数I/内積 のバックアップ差分(No.1)
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[[線形代数I]] #contents * n 次元数ベクトルの標準内積 [#p13a5776] &math(\bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix});, &math(\bm b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n); に対して、その標準内積を &math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n=\sum_{i=1}^na_ib_i); として定義する。 * 内積の性質 [#vaef810c] 標準内積について以下の性質を容易に確かめられる。 + &math((\bm a,\bm b)=(\bm b,\bm a)); + &math((\bm a+\bm b,\bm c)=(\bm a,\bm c)+(\bm b,\bm c)); + &math((k\bm a,\bm b)=k(\bm a,\bm b)); + &math((\bm a,\bm a)\ge 0); かつ &math((\bm a,\bm a)=0);⇔&math(\bm a=\bm o); 数学的にはこの4つの性質を持つ演算はすべて「内積」と考える。 すなわち、内積の定義の仕方には様々な物がある。 例:&math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+2a_2b_2+\dots+na_nb_n=\sum_{i=1}^nia_ib_i); も内積を定義する。 例:すぐには分かりにくいが、2次のベクトルに対して、 &math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+2a_2b_2); も内積を定義する。 (確かめてみよ) 以下で見る内積の性質は上記4つの条件のみを使って定義・証明可能であるから、 標準内積だけでなく、任意の内積について成立する。 * ベクトルの大きさ [#zbc3a037] &math((\bm a,\bm a)\ge 0); より、任意の &math(\bm a); に対して &math(\|\bm a\|=\sqrt{(\bm a,\bm a)}\ge 0); を定義することができる。これを &math(\bm a); のノルム(長さ・大きさ)と呼ぶ。 標準内積の場合: &math(\|\bm a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}); ** Schwartz の不等式 [#m7966132] &math((\bm a,\bm b)\le\|\bm a\|\|\bm b\|); (証明) &math(|(t\bm a+\bm b,t\bm a+\bm b)|=(\bm a,\bm a)t^2+(\bm a,\bm b)t+(\bm b,\bm a)t+(\bm b,\bm b)); &math(=\|\bm a\|^2t^2+2(\bm b,\bm a)t+\|\bm b\|^2\ge 0); この2次式の判別式は負でなければならないから、 &math((\bm b,\bm a)^2-\|\bm a\|^2\|\bm b\|^2\le 0); &math((\bm b,\bm a)^2\le\|\bm a\|^2\|\bm b\|^2); 両者の正の平方根を取れば、与式を得る。 ** 三角不等式 [#he02d623] &math(\|\bm a+\bm b\|\le\|\bm a\|+\|\bm b\|); (証明) (左辺)&math(^2=(\bm a+\bm b,\bm a+\bm b)); &math(=\|\bm a\|^2+2(\bm b,\bm a)+\|\bm b\|^2); &math(<\|\bm a\|^2+2|(\bm b,\bm a)|+\|\bm b\|^2); &math(<\|\bm a\|^2+2\|\bm a\|\|\bm b\|+\|\bm b\|^2); &math(=\left(\|\bm a\|+\|\bm b\|\right)^2); 両辺とも正なので、平方根を取れば与式を得る。 * ベクトルの為す角 [#j0250396] &math(\bm a,\bm b); が共にゼロでないとき、シュワルツの不等式より &math(-1\le\frac{(\bm a,\bm b)}{\|\bm a\|\|\bm b\|}\le1);
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