線形代数I/内積 のバックアップ差分(No.1)

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* n 次元数ベクトルの標準内積 [#p13a5776]

&math(\bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix});,
&math(\bm b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n);
に対して、その標準内積を

&math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n=\sum_{i=1}^na_ib_i);

として定義する。

* 内積の性質 [#vaef810c]

標準内積について以下の性質を容易に確かめられる。

+ &math((\bm a,\bm b)=(\bm b,\bm a));
+ &math((\bm a+\bm b,\bm c)=(\bm a,\bm c)+(\bm b,\bm c));
+ &math((k\bm a,\bm b)=k(\bm a,\bm b));
+ &math((\bm a,\bm a)\ge 0); かつ &math((\bm a,\bm a)=0);⇔&math(\bm a=\bm o);

数学的にはこの4つの性質を持つ演算はすべて「内積」と考える。
すなわち、内積の定義の仕方には様々な物がある。

例:&math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+2a_2b_2+\dots+na_nb_n=\sum_{i=1}^nia_ib_i);
も内積を定義する。

例:すぐには分かりにくいが、2次のベクトルに対して、

&math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+2a_2b_2); も内積を定義する。
(確かめてみよ)


以下で見る内積の性質は上記4つの条件のみを使って定義・証明可能であるから、
標準内積だけでなく、任意の内積について成立する。

* ベクトルの大きさ [#zbc3a037]

&math((\bm a,\bm a)\ge 0); より、任意の &math(\bm a); に対して

&math(\|\bm a\|=\sqrt{(\bm a,\bm a)}\ge 0);

を定義することができる。これを &math(\bm a); のノルム(長さ・大きさ)と呼ぶ。

標準内積の場合: 
&math(\|\bm a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2});

** Schwartz の不等式 [#m7966132]

&math((\bm a,\bm b)\le\|\bm a\|\|\bm b\|);

(証明)

&math(|(t\bm a+\bm b,t\bm a+\bm b)|=(\bm a,\bm a)t^2+(\bm a,\bm b)t+(\bm b,\bm a)t+(\bm b,\bm b));

&math(=\|\bm a\|^2t^2+2(\bm b,\bm a)t+\|\bm b\|^2\ge 0);

この2次式の判別式は負でなければならないから、

&math((\bm b,\bm a)^2-\|\bm a\|^2\|\bm b\|^2\le 0);

&math((\bm b,\bm a)^2\le\|\bm a\|^2\|\bm b\|^2);

両者の正の平方根を取れば、与式を得る。

** 三角不等式 [#he02d623]

&math(\|\bm a+\bm b\|\le\|\bm a\|+\|\bm b\|);

(証明)

(左辺)&math(^2=(\bm a+\bm b,\bm a+\bm b));

&math(=\|\bm a\|^2+2(\bm b,\bm a)+\|\bm b\|^2);

&math(<\|\bm a\|^2+2|(\bm b,\bm a)|+\|\bm b\|^2);

&math(<\|\bm a\|^2+2\|\bm a\|\|\bm b\|+\|\bm b\|^2);

&math(=\left(\|\bm a\|+\|\bm b\|\right)^2);

両辺とも正なので、平方根を取れば与式を得る。

* ベクトルの為す角 [#j0250396]

&math(\bm a,\bm b); が共にゼロでないとき、シュワルツの不等式より

&math(-1\le\frac{(\bm a,\bm b)}{\|\bm a\|\|\bm b\|}\le1);


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