線形代数Ｉ
n 次元数ベクトルの標準内積 †
,
に対して、その標準内積を
として定義する。
内積の性質 †
標準内積について以下の性質を容易に確かめられる。
-
かつ
⇔
数学的にはこの４つの性質を持つ演算はすべて「内積」と考える。
すなわち、内積の定義の仕方には様々な物がある。
例：
も内積を定義する。
例：すぐには分かりにくいが、２次のベクトルに対して、
も内積を定義する。
（確かめてみよ）
以下で見る内積の性質は上記４つの条件のみを使って定義・証明可能であるから、
標準内積だけでなく、任意の内積について成立する。
ベクトルの大きさ †
より、任意の
に対して
を定義することができる。これを
のノルム（長さ・大きさ）と呼ぶ。
標準内積の場合：
Schwartz の不等式 †
(証明)
この２次式の判別式は負でなければならないから、
両者の正の平方根を取れば、
与式を得る。
三角不等式 †
(証明)
両辺とも正なので、平方根を取れば与式を得る。
ベクトルの為す角 †
が共にゼロでないとき、シュワルツの不等式より
そこで、
を満たす
ただし
がただ一つ決まる。
この
を
の「為す角」と呼ぶ。
ベクトルの直交 †
より、内積がゼロの時、
となる。
そこで、
であることを 「
が直交する」と言う。
実は、
の少なくとも１方がゼロの時もやはり
となるが、
は定まらない。
だが、この場合も含めて「直交」を定義する。
⇔
- ゼロベクトル
は全てのベクトルに直交する
正規化 †
ゼロでない任意のベクトル
に対して、
のノルムは１になる。
このように、ベクトルをその大きさで割ってノルムを１にすることを「正規化」と呼ぶ。
正規ベクトル：ノルムが１のベクトルのこと
正規直交系 †
ベクトル
が正規直交系である、とは
- すべてノルムが１である
すなわち
- 互いに直交する
の条件を満たすこと。
- 条件はまとめて
と書ける。
- 基本ベクトル
は正規直交系である
正規直交系は一次独立である †
が正規直交系であるとき、
が成り立つとすると、両辺と
との内積を取ることで、
したがって、すべての
について
となることが導かれる。
成分の導出 †
同様にして、基本ベクトル
は正規直交系であるから、
のとき、
と
との内積を取ることにより、
として
方向の成分を求めることができる。
直交変換・直交行列 †
任意の
に対して、
を満たす変換
を直交変換と呼ぶ。