線形代数Ｉ/内積 のバックアップソース(No.2)
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* n 次元数ベクトルの標準内積 [#p13a5776]
&math(\bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix});,
&math(\bm b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n);
に対して、その標準内積を
&math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n=\sum_{i=1}^na_ib_i);
として定義する。
* 内積の性質 [#vaef810c]
標準内積について以下の性質を容易に確かめられる。
+ &math((\bm a,\bm b)=(\bm b,\bm a));
+ &math((\bm a+\bm b,\bm c)=(\bm a,\bm c)+(\bm b,\bm c));
+ &math((k\bm a,\bm b)=k(\bm a,\bm b));
+ &math((\bm a,\bm a)\ge 0); かつ &math((\bm a,\bm a)=0);⇔&math(\bm a=\bm o);
数学的にはこの４つの性質を持つ演算はすべて「内積」と考える。
すなわち、内積の定義の仕方には様々な物がある。
例：&math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+2a_2b_2+\dots+na_nb_n=\sum_{i=1}^nia_ib_i);
も内積を定義する。
例：すぐには分かりにくいが、２次のベクトルに対して、
&math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+2a_2b_2); も内積を定義する。
（確かめてみよ）
以下で見る内積の性質は上記４つの条件のみを使って定義・証明可能であるから、
標準内積だけでなく、任意の内積について成立する。
* ベクトルの大きさ [#zbc3a037]
&math((\bm a,\bm a)\ge 0); より、任意の &math(\bm a); に対して
&math(\|\bm a\|=\sqrt{(\bm a,\bm a)}\ge 0);
を定義することができる。これを &math(\bm a); のノルム（長さ・大きさ）と呼ぶ。
標準内積の場合：
&math(\|\bm a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2});
** Schwartz の不等式 [#m7966132]
&math(|(\bm a,\bm b)|\le\|\bm a\|\|\bm b\|);
(証明)
&math((t\bm a+\bm b,t\bm a+\bm b)=(\bm a,\bm a)t^2+(\bm a,\bm b)t+(\bm b,\bm a)t+(\bm b,\bm b));
&math(=\|\bm a\|^2t^2+2(\bm b,\bm a)t+\|\bm b\|^2\ge 0);
この２次式の判別式は負でなければならないから、
&math((\bm b,\bm a)^2-\|\bm a\|^2\|\bm b\|^2\le 0);
&math((\bm b,\bm a)^2\le\|\bm a\|^2\|\bm b\|^2);
両者の正の平方根を取れば、
&math(|(\bm a,\bm b)|\le\|\bm a\|\|\bm b\|);
与式を得る。
** 三角不等式 [#he02d623]
&math(\|\bm a+\bm b\|\le\|\bm a\|+\|\bm b\|);
(証明)
&math(\|\bm a+\bm b\|^2=(\bm a+\bm b,\bm a+\bm b));
&math(=\|\bm a\|^2+2(\bm b,\bm a)+\|\bm b\|^2);
&math(<\|\bm a\|^2+2|(\bm b,\bm a)|+\|\bm b\|^2);
&math(<\|\bm a\|^2+2\|\bm a\|\|\bm b\|+\|\bm b\|^2);
&math(=\left(\|\bm a\|+\|\bm b\|\right)^2);
両辺とも正なので、平方根を取れば与式を得る。
* ベクトルの為す角 [#j0250396]
&math(\bm a,\bm b); が共にゼロでないとき、シュワルツの不等式より
&math(-1\le\frac{(\bm a,\bm b)}{\|\bm a\|\|\bm b\|}\le1);
そこで、
&math(\frac{(\bm a,\bm b)}{\|\bm a\|\|\bm b\|}=\cos \theta);
を満たす &math(\theta); ただし &math(0\le\theta\le\pi); がただ一つ決まる。
この &math(\theta); を &math(\bm a,\bm b); の「為す角」と呼ぶ。
* ベクトルの直交 [#v83096b5]
&math(\cos \pi/2=0); より、内積がゼロの時、&math(\theta=\pi/2=90^\circ); となる。
そこで、&math((\bm a,\bm b)=0); であることを 「&math(\bm a,\bm b); が直交する」と言う。
実は、&math(\bm a,\bm b); の少なくとも１方がゼロの時もやはり
&math((\bm a,\bm b)=0); となるが、&math(\theta); は定まらない。
だが、この場合も含めて「直交」を定義する。
&math((\bm a,\bm b)=0); ⇔ &math(\bm a \perp \bm b);
- ゼロベクトル &math(\bm o); は全てのベクトルに直交する
* 正規化 [#de37b9ae]
ゼロでない任意のベクトル &math(\bm a); に対して、
&math(\frac{1}{\|\bm a\|}\bm a); のノルムは１になる。
このように、ベクトルをその大きさで割ってノルムを１にすることを「正規化」と呼ぶ。
正規ベクトル：ノルムが１のベクトルのこと
* 正規直交系 [#ude8ebc8]
ベクトル &math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n); が正規直交系である、とは
- すべてノルムが１である &math(\|\bm a_i\|=1); すなわち &math((\bm a_i,\bm a_i)=1);
- 互いに直交する &math(i\ne j\rightarrow(\bm a_i,\bm a_j)=0);
の条件を満たすこと。
- 条件はまとめて &math((\bm a_i,\bm a_j)=\delta_{ij}); と書ける。
- 基本ベクトル &math(\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n); は正規直交系である
** 正規直交系は一次独立である [#m48703a3]
&math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n); が正規直交系であるとき、
&math(\sum_{k=1}^nc_k\bm a_k=\bm o); が成り立つとすると、両辺と &math(\bm a_i); との内積を取ることで、
&math((\bm a_i,\sum_{k=1}^nc_k\bm a_k));
&math(=\sum_{k=1}^nc_k(\bm a_i,\bm a_k));
&math(=\sum_{k=1}^nc_k\delta_{ik});
&math(=c_i=(\bm a_i,\bm o)=0);
したがって、すべての &math(i); について &math(c_i=0); となることが導かれる。
** 成分の導出 [#f4426604]
同様にして、基本ベクトル &math(\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n); は正規直交系であるから、
&math(\bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\sum_{k=1}^nx_k\bm e_k);
のとき、&math(\bm x); と &math(\bm e_k); との内積を取ることにより、
&math((\bm e_i,\bm x));
&math(=\sum_{k=1}^nx_k(\bm e_i,\bm e_k));
&math(=\sum_{k=1}^nx_k\delta_{ik});
&math(=x_i);
として &math(\bm e_i); 方向の成分を求めることができる。
* グラム・シュミットの直交化法 [#i789773f]
[[線形代数Ｉ/要点/（グラム）シュミットの直交化法]]
* 直交変換・直交行列 [#y8b08c92]
任意の &math(\bm x,\bm y); に対して、
&math((f(\bm x),f(\bm y))=(\bm x,\bm y));
を満たす変換 &math(f(\bm x)); &math(\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n);
を直交変換と呼ぶ。
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