広義固有空間の構造とジョルダン標準形 のバックアップ(No.1)

概要 †

ジョルダン標準形とは、対角化できない行列を「準対角化」した形である。

ここは発展項目なので、線形代数IIの内容を先取りして使う。
実のところ、線形代数IIでも扱わない内容なので、線形代数IIを学んでから戻ってきても良い。

固有空間とその次元 †

次正方行列 の、固有値 に対する固有空間 （固有ベクトルの集合が作る線形空間）は、

　

と表せる。

の重複度と同数の一次独立な固有ベクトルを見つけられることが を対角化できる必要条件だった。これは固有空間の次元が重複度と等しいことと同値である。 （重複度を超えることはない）

固有空間の次元は の解の自由度（パラメータの数）だから、

　

→ 解の自由度は掃出せなかった列の数に等しいこと、 掃出せた列の数が階数と等しいこと、を思い出せ。

対角化できない場合 †

対角化できない場合には、 の重複度を とすれば、

　

となる が存在することになる。

広義固有空間 †

三角化可能定理 において、 初めに を 解選ぶと、左上から 個の が並び、その後、他の固有値が並ぶ形に対角化ができる。

そこに ケーリーハミルトンの定理 と同じ操作を

　

に対して行えば、 の階数が となることが分かる。

すなわち、

　

であるが、

　

となるのである。

これは、

　

を に属する広義固有空間と定義すれば、 その次元がぴったり重複度と等しくなることを意味する。

広義固有空間の基底 †