線形代数II/代数学的構造 のバックアップ(No.1)
更新線形代数Ⅱ?
イントロダクション:代数学的構造 †
代数学とは †
この授業は「線形代数学」だ。
1年生の線形代数Iにおいて、「線形」の意味を教わった。
関数 が線形 : が成り立つこと
では「代数学」とは何だろうか?
小学生から大学1年生まで、様々な「数」を学んだ。
- 自然数 = 加算・乗算について閉じている
- 整数 = 減算についても閉じている
- 有理数 = 除算について「ほぼ」閉じている (ゼロは例外)
- 実数 = 収束する有理数列の極限演算について閉じている
- 複素数 = 負数の開根操作について閉じている
であり、新しい「演算」の導入により「数の集合」を拡大する方向で学んできた。
- 解析学は主に の上(あるいは の上)で 極限や微積分を扱う数学である
代数学は
の系列から外れて、
例えば、
乗算は定義されるが加算は定義されない数の集合
などというように、「何らかの演算」が定義された「数の集合」を定め、 そこに現れる「構造」を研究する。
これから学ぶ「ベクトル」も上で言う「数」の一員である。
代数学的構造の例: 群 †
ある集合
にある演算
が定義され、
は
について「閉じている」とする。
(すなわち
について
)
さらにこの演算が次の性質を持つ時、
- に対して結合法則 が成り立つ
- に対して を満たすような特別な元(単位元) が存在する
- に対して、 を満たすような元(逆元) が存在する
「 は演算 について群である」という。
群の例 †
一見すると、 を有理数 、 を通常の乗算 と考えれば 「群の公理」を満たしそうに思えるが、 が逆元を持たないため、 有理数 は乗算 について群とはならない。
を有理数 からゼロを除いた集合 、 を通常の乗算 、単位元を とすれば、この集合は群である。
また、 を整数 、 を通常の加算 、単位元を と考えると、この場合も上記3つすべての条件を満たすことから、 は加算について群である。
また、 を の倍数 、 を通常の加算 、単位元を と考えると、この場合も上記3つすべての条件を満たし、群を為す。
群の要素数が有限である場合もある。
自明な群: に対して、 と定義すれば、 は群である。
に対して、演算 を
* | a | b | c |
---|---|---|---|
a | a | b | c |
b | b | c | a |
c | c | a | b |
と定義すれば、
は群である。
ただしこの表は、
の演算結果を示した物である。
群の公理を気にしなければ、「演算」はこのように適当に表を作れば定義できる。
しかしこの表を、
* | a | b | c |
---|---|---|---|
a | a | b | c |
b | b | c | b |
c | c | b | a |
としてしまえば、 となって、 は群ではなくなる。
「群」の公理は上のように単純なものであるが、
その数学的構造は非常に奥深く、群論だけで数学の1分野となる。
応用理工では群論の詳細には立ち入らないが、
結晶学や分子振動における点群や、
ゲージ理論などにおける対称性に関する議論に重要な応用があるため
どこかでまた学ぶことになるかもしれない。
その他の代数的構造 †
- 半群 = 群の公理から 2., 3. を除いて 1. のみを公理とする
- 群 = 上記
- 可換群 = 群の公理に交換律 を加える
- 環 = 2つの演算 を持ち、 に対して可換群、 に対して半群であり、分配法則 が成立する
- 体 = 環でありかつ に対しても、0 を除いて可換群である(つまり、四則演算ができる)
これ以外にも数多くの代数的構造が研究されている。
有理数 や実数 、複素数 は 自由に四則演算の行える構造を持ち、「体」である。 そこでしばしば 有理体、実数体、複素数体 などとも呼ばれる。
代数的構造の意味 †
「代数的構造」の優れた点は数学的に類似の構造を持つ対象を抜き出して、 それらをまとめて議論できる点にある。
「類似点」を公理の形で記し、公理のみを基に定理を導くことにより、 個々の対象に依存せず、すべての対象に適用可能な結論を導ける。