線形代数II/内積と計量空間 のバックアップソース(No.2)
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[[線形代数Ⅱ]]
#contents
* 内積 [#k485e13a]
&math(K); 上の線形空間 &math(V); の任意の２つの元 &math(\bm x,\bm y\in V); の間に、
演算 &math((\bm x,\bm y)); が定義され、&math((\bm x,\bm y)\in K); となるものとする。
この演算が次の公理を満たすとき、内積と呼ばれる。
+ &math((\bm x,\bm y_1+\bm y_2)=(\bm x,\bm y_1)+(\bm x,\bm y_2));
+ &math((\bm x,c\bm y)=c(\bm x,\bm y));
+ &math((\bm y,\bm x)=\overline{(\bm x,\bm y)});
+ &math((\bm x,\bm x)\geqq 0); &math((\bm x,\bm x)=0\Leftrightarrow \bm x=\bm 0);
このとき、以下の性質も証明可能：
&math(K=\mathbb R); の時は &math(x\in \mathbb R); に対して
&math(x=\overline x); だから &math((\bm y,\bm x)=(\bm x,\bm y));
1. と 3. より、&math((\bm x_1+\bm x_2,\bm y)=(\bm x_1,\bm y)+(\bm x_2,\bm y));
2. と 3. より、&math((c\bm x,\bm y)=\overline c(\bm x,\bm y));
4. より ノルム &math(\|\bm x\|=\sqrt{(\bm x,\bm x)}\geqq 0); を定義可能。
内積が定義された線形空間を計量線形空間という。
（ノルム によりベクトルの大きさを測れるようになったということ）
&math((\bm x, \bm y)=0); のとき、&math(\bm x\perp\bm y); すなわち、
&math(\bm x); と &math(\bm y); は直交するという。
* 正規直交系 [#i1230363]
&math(\bm e_1, \bm e_2, \dots, \bm e_k); が
- 正規性： &math((\bm e_i,\bm e_i)=1); つまり &math(\|\bm e_i\|=1);
- 直交性： &math((\bm e_i,\bm e_j)=0); つまり &math(\bm e_i\perp\bm e_j); (&math(i\ne j);)
を満たすとき、正規直交系を為すという。あるいはまとめて、
- &math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij});
とも書ける。
* 正規直交基底 [#s47e26a7]
ある基底が正規直交系を為すとき、正規直交基底と呼ぶ。
* 内積の成分表示 [#o879b519]
&math(\widetilde E=\set{\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm \e_n}); を正規直交基底とし、
&math(\bm x=\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i);、&math(\bm y=\sum_{i=0}^n y_i\bm e_i); とすると、
&math(
(\bm x,\bm y)&=(\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i,\bm y)\\
&=\sum_{i=0}^n\overline x_i(\bm e_i, \sum_{j=0}^n y_j\bm e_j)\\
&=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\overline x_iy_j(\bm e_i, \bm e_j)\\
&=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\overline x_iy_j\delta_{ij}\\
&=\sum_{i=0}^n\overline x_iy_i\\
&=(\bm x_{\widetilde E},\bm y_{\widetilde E})
);
を得る。
* エルミート共役 [#de0c0da8]
&math(m,n); 行列 &math(A=\big(\,a_{ij}\,\big)); に対して、
- 転置行列：&math(^t\!A=\big(\,a_{ji}\,\big));
- 複素共役：&math(\overline A=\big(\,\overline{a_{ji}}\,\big));
- エルミート共役：&math(A^\dagger=\overline{^t\!A}=^t\!\overline{A}=\big(\,\overline{a_{ji}}\,\big));
とくに、列ベクトル &math(\bm x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}); に対しては、
-転置：&math(^t\!\bm x=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\dots&x_n\end{pmatrix});
-複素共役：&math(\overline{\bm x}=\begin{pmatrix}\overline x_1\\\overline x_2\\\vdots\\\overline x_n\end{pmatrix});
-エルミート共役：&math(\bm x^\dagger=\overline{^t\!\bm x}=^t\!\overline{\bm x}=\begin{pmatrix}\overline x_1&\overline x_2&\dots&\overline x_n\end{pmatrix});
エルミート共役は、次の性質を持つ。
- &math(\left(A^\dagger\right)^\dagger=A);
- &math((\bm x,\bm y)=\bm x^\dagger \bm y);
- &math((\bm x,A\bm y)=(A^\dagger\bm x,\bm y)=\bm x^\dagger A\bm y);
* 対称行列、直交行列 と エルミート行列、ユニタリ行列 [#g3931b9c]
&math(A); が実行列のとき &math(A^\dagger=^t\!\!A); である。
|実行列・ベクトルについて |複素行列・ベクトルについて |
|対称行列 &math(^t\!S=S); |エルミート行列 &math(H^\dagger=H^{-1}); |
|直交行列 &math(^t\!R=R^{-1}); |ユニタリ行列 &math(U^\dagger=U^{-1}); |
性質：
- 対称行列 &math(S); について &math((\bm x,S\bm y)=(S\bm x,\bm y)); （実内積）
- エルミート行列 &math(H); について &math((\bm x,H\bm y)=(H\bm x,\bm y)); （複素内積）
性質：
- 直交行列 &math(R); により内積が保存される &math((R\bm x,R\bm y)=(\bm x,\bm y));
- ユニタリ行列 &math(U); により複素内積が保存される &math((U\bm x,U\bm y)=(\bm x,\bm y));
* 正規行列 [#ldb799b7]
&math(A^\dagger A=AA^\dagger); を満たす行列を正規行列と呼ぶ。
実対称行列、実直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列は正規行列である。
ユニタリ行列で対角化できることと、正規行列であることとは同値であるが、
ここでは証明はしない。
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