固有値問題・固有空間・スペクトル分解/メモ のバックアップ差分(No.1)
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[[線形代数II/固有値問題・固有空間・スペクトル分解]] &katex(); * 演習の解答 [#c9d5bcf1] (1) エルミート行列の和はエルミート行列になる $A,B$ がエルミートであるとすると、 $$(A+B)^\dagger={}^t(\overline{A + B})={}^t(\overline{A} + \overline{B})={}^t\overline{A} +{}^t\overline{B}=A^\dagger+B^\dagger=A+B$$ (2) ユニタリ行列の積はユニタリ行列になる $A,B$ がユニタリ行列であるとすると、 $$ (AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger=B^{-1}A^{-1}=(AB)^{-1} $$ (3) エルミート行列の積は必ずしもエルミート行列にならない $A,B$ がエルミートであるとすると、 $$ (AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger=BA $$ これが $AB$ と等しいのは、 $$ BA=AB $$ が成り立つ時に限る。 すなわち、2つのエルミート行列が可換なときに限りその積がエルミートになる。 (4) ユニタリ行列の和はユニタリ行列にならない $$(A+B)^\dagger={}^t(\overline{A + B})={}^t(\overline{A} + \overline{B})={}^t\overline{A} +{}^t\overline{B}=A^\dagger+B^\dagger=A^{-1}+B^{-1}$$ $$(A^{-1}+B^{-1})(A+B)=E+A^{-1}B+AB^{-1}+E=E$$ となるのは、 $$A^{-1}B+AB^{-1}=A^\dagger B+AB^\dagger=E$$ が成り立つときだけである。
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