固有値問題・固有空間・スペクトル分解/メモ のバックアップソース(No.1)
更新[[線形代数II/固有値問題・固有空間・スペクトル分解]]
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* 演習の解答 [#c9d5bcf1]
(1) エルミート行列の和はエルミート行列になる
$A,B$ がエルミートであるとすると、
$$(A+B)^\dagger={}^t(\overline{A + B})={}^t(\overline{A} + \overline{B})={}^t\overline{A} +{}^t\overline{B}=A^\dagger+B^\dagger=A+B$$
(2) ユニタリ行列の積はユニタリ行列になる
$A,B$ がユニタリ行列であるとすると、
$$
(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger=B^{-1}A^{-1}=(AB)^{-1}
$$
(3) エルミート行列の積は必ずしもエルミート行列にならない
$A,B$ がエルミートであるとすると、
$$
(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger=BA
$$
これが $AB$ と等しいのは、
$$
BA=AB
$$
が成り立つ時に限る。
すなわち、２つのエルミート行列が可換なときに限りその積がエルミートになる。
(4) ユニタリ行列の和はユニタリ行列にならない
$$(A+B)^\dagger={}^t(\overline{A + B})={}^t(\overline{A} + \overline{B})={}^t\overline{A} +{}^t\overline{B}=A^\dagger+B^\dagger=A^{-1}+B^{-1}$$
$$(A^{-1}+B^{-1})(A+B)=E+A^{-1}B+AB^{-1}+E=E$$
となるのは、
$$A^{-1}B+AB^{-1}=A^\dagger B+AB^\dagger=E$$
が成り立つときだけである。
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