線形代数II/基底の変換 のバックアップ(No.5)

$\mathbb R^3$ の数ベクトル表現 †

次の３つのベクトルは の基底を為す。

&math( \bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} );

つまり、次の２つが成り立つ。

1. は線形独立である
2. は を張る

1. はほぼ自明

2. は、 を、

として表せると言う意味。あるいはこれを満たす を見つけられるという意味。

&math( \bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =B\bm x');

と書き直すと、1. より は正則行列であるから、どんな を与えられたとしても とすれば を見つけられることが分かる。

同時に、 のベクトル の、 基底 に対する数ベクトル表現が、

であることも分かる。

実は上記の議論は線形独立な任意の にあてはまる。

基底の変換 †

のベクトル という書き方は、

基本ベクトルを &math( \bm e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \bm e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \bm e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} ); として

であるから、「基本ベクトルを基底とした時の の数値表現である」と言える。

一方、行列 は、 ベクトル の、 に対する 数値表現を行列として並べた物となる。

基底の変換行列 †

線形空間 に２つの基底、 および があるとする。( )

の
に対する数値表現 と
に対する数値表現 との間には、

の関係がある。ただし、

は 行列で、
\ の基底ベクトルそれぞれに対して基底 での数値表現を作り、 それらを横に並べた行列である。

この を、基底 から基底 への 基底の変換行列と呼ぶ。

&math( \bm x&=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm x_{\mathcal A}\\ &=\big(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n\big)\bm x_{\mathcal B}\\ );

&math( \bm b_i=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm b_{i\mathcal A} );