射影・直和・直交直和/メモ のバックアップ(No.1)
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正射影演算子の必要十分条件は †
計量線形空間 $V$ に定義された線形変換 $P$ が正射影演算子である為の必要十分条件は $P^2 = P$ かつ $P^\dagger=P$ である、も示せる。→ その証明
必要性 †
1) $P$ が $V$ から $W\subset V$ への正射影演算子であれば、
$\forall \bm x\in V$ に対して $P\bm x\in W$ であるから、$P^2\bm x=P\bm x$ である。すなわち $P^2=P$
2) $\bm x,\bm y\in V$ が $\bm x=\underbrace{P\bm x}_{\in W}+\underbrace{\bm x^\perp}_{\in W^\perp}, \bm y=P\bm y+\bm y^\perp$ と書けるとき、$(\bm x^\perp, P\bm y)=(P\bm x,\bm y^\perp)=0$ であるから、
$$(P\bm x,\bm y)=(P\bm x,P\bm y)=(\bm x,P\bm y)$$
が任意の $\bm x,\bm y\in V$ に対して成り立つ。すなわち $P=P^\dagger$。
十分性 †
$P$ の像を $P(V)=W$ と書けば、$\forall \bm x\in V$ に対して $P\bm x\in W$ であり、 任意の $\bm y\in W$ は $\bm y=P\bm z$ と書けるから、
$$ (\bm x-P\bm x,\bm y)=(\bm x-P\bm x,P\bm z)=(P\bm x-P^2\bm x,\bm z)=(P\bm x-P\bm x,\bm z)=(\bm 0,\bm z)=0 $$
すなわち、$\bm x-P\bm x\in W^\perp$ であるから、$P$ は $W$ への正射影演算子である。