復習:行列とその演算 のバックアップソース(No.2)
更新[[線形代数II]] * 演習 [#xf9bd2e9] (1) &math(A); は &math(2\times 3); 行列であり、&math(A=(a_{ij})); ただし &math(a_{ij}=3i-2j); と表せる。 &math(A); を通常の行列表示で表せ。 (2) 上記 &math(A); の転置行列 &math({}^t\!A); を答えよ。 (3) &math(n); 次正方行列 &math(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})); に対して、&math(C=(c_{ij})=A+B);、&math(D=(d_{ij})=AB); とする。&math(c_{ij},d_{ij}); を &math(a_{ij},b_{ij}); で表せ。 また、&math({}^t\!(AB)={}^t\!D={}^t\!B{}^t\!A); を証明せよ。 (4) &math(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}); と &math(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}); に対して、 &math(A A^{-1}=A^{-1}A=E); を確かめよ。ただし &math(|A|=ad-bc\ne 0); とする。 (5) 行列の積は次のように小行列へ分割して計算可能なことを確かめよ。~ &math( \left(\begin{array}{cc|c} a&b&c\\ d&e&f\\\hline g&h&i\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} j&k\\ l&m\\\hline n&o\\ \end{array} \right) =\begin{pmatrix} A&B\\ C&D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E\\F \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} AE+BF\\ CE+DF \end{pmatrix} ); ただし、例えば &math(A=\begin{pmatrix}a&b\\d&e\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}c\\f\end{pmatrix}); などとする。 * 解答例と解説 [#y4c927a5] (1) &math(m\times n); 行列は、&math(m); 行 &math(n); 列 の行列のことであり、&math(A=(a_{ij})); は &math(i); 行 &math(j); 列成分が &math(a_{ij}); であることを表す。常に、「行→列」 の順に記述すると覚えればよい。Matrix を「行列」と訳した人に感謝せよ。 行列は___横書き文化圏___から来た概念なので、「行」は上から下へ数える。「列」は左から右に数える。 したがって、 &math( A&=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (3\cdot 1-2\cdot 1)&(3\cdot 1-2\cdot 2)&(3\cdot 1-2 \cdot 3)\\ (3\cdot 2-2\cdot 1)&(3\cdot 2-2\cdot 2)&(3\cdot 2-2 \cdot 3)\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1&-1&-3\\ 4&2&0 \end{pmatrix}\\ ); (2) &math(m\times n); 行列の転置行列は &math(n\times m); 行列で、&math(A=(a_{ij})); に対して &math({}^t\!A=(a_{ji})); であるから、 &math({}^t\!A=\begin{pmatrix} 1&4\\ -1&2\\ -3&0 \end{pmatrix}\\ ); (3) &math(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}); &math(d_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}); &math(D=ABC); であれば、&math(d_{ij}=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n a_{ik}b_{kl}c_{lj}); となる。 &math({}^t\!D=(d_{ji})); &math(d_{ji}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}=\sum_{k=1}^n b_{ki}a_{jk}); &math(b_{ki},a_{jk}); はそれぞれ &math({}^t\!B); の &math((i,k)); 成分、 &math({}^t\!A); の &math((k,j)); 成分に等しいから、右辺は &math({}^t\!B{}^t\!A); の &math((i,j)); 成分に等しい。 すなわち、&math({}^t\!D={}^t\!(AB)={}^t\!B{}^t\!A); (4) &math( AA^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\,\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} =\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&\cancel{-ab+ab}\\\cancel{cd-cd}&-bc+ad\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} ); &math( A^{-1}A=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&\cancel{bd-bd}\\\cancel{ac-ac}&-bc+ad\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} ); (5) &math( \left(\begin{array}{ccc} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} j&k\\ l&m\\ n&o\\ \end{array} \right)= \left(\begin{array}{cc} aj+bl+cn&ak+bm+co\\ dj+el+fn&dk+em+fo\\ gj+hl+in&gk+hm+io\\ \end{array}\right) ); 一方、 &math( \begin{pmatrix} AE+BF\\ CE+DF \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} aj+bl&ak+bm\\ dj+el&dk+em \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} cn&co\\ fn&fo \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} gj+hl&gk+hm \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} in&io \end{pmatrix} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} aj+bl+cn&ak+bm+co\\ dj+el+fn&dk+em+fo \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} gj+hl+in&gk+hm+io \end{pmatrix} \end{pmatrix} );
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