復習：連立方程式と逆行列 のバックアップ(No.3)

演習 †

(1)

次の連立方程式について、

&math( \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} );

　(a) ただ１つの解を持つような を１つ答えよ
　(b) 複数の解を持つような を１つ答えよ
　(c) １つも解が存在しないような を１つ答えよ

(2)

次の連立方程式を、掃き出し法を用いて解け。

(a) &math( \begin{cases} 2x+4y-2z=6\\ x-y+3z=2 \end{cases}\\ );

解答 †

(1)-(a)

変数と同じ数の式が与えられていることから係数行列は正方行列となり、 規則性無く係数を選べば多くの場合正則な行列が得られ、解は１つに定まる。

(b) や (c) のようになるのは特殊な場合である（係数行列が非正則）。

分かりやすい形を答えるのであれば、 例えば とすれば、

&math( \begin{cases} x+0y=1\\ 0x+y=2 \end{cases} );

であるから、明らかに だけが解となる。

(1)-(b)

２つの式が独立な条件になっていないとき、解は無数に存在する。

たとえば、 とすれば、

&math( \begin{cases} x+y=1\\ x+y=1 \end{cases} );

であるから、実質的には２つの変数に対して１つの条件式しか与えられていないのと同じことになる。

と置けば、任意のパラメータ に対して &math(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}); が解となることが分かる。

あるいは、 と置けば、実質的には条件式は何もないことになり、 任意の が方程式の解となる。

(1)-(c)

絶対に成り立たない方程式を作ればいいから、

例えば と置けば、

&math( \begin{cases} 0x+0y=1\\ dx+ey=f \end{cases} );

となって、 によらず第１式を満たす は存在しない。 すなわち、解なし、である。

あるいは、 と置けば、

&math( \begin{cases} x+y=1\\ x+y=2 \end{cases} );

となって、やはりこれらを同時に満たす は存在しない。

(2)-(a) 拡大係数行列に次に与える「行に対する基本変形」を適用し、 左から順に「掃き出し」を行うことにより、最終的に「階段行列」の形にする。

• ある行に他の行の定数倍を加える
• ある行に定数をかける
• ２つの行を入れ替える

&math( \begin{pmatrix} 2&4&-2&6\\ 1&-1&5&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&-1&3\\ 1&-1&5&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&-1&3\\ 0&-3&6&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&-1&3\\ 0&1&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&3&1\\ 0&1&-2&1 \end{pmatrix} );

より、与式は

&math( \begin{cases} x+3z=1\\ y-2z=1 \end{cases});

と同値である。

掃き出しの行えなかった列に対応する変数 をパラメータに置いて、 とすれば、求める解は任意のパラメータ に対して

&math( \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= s\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} );

と表せることが分かる。

このように、 の形に表せる連立方程式の解が 任意パラメータ を用いて の形に表せるとき、

&math(\begin{cases} A\bm x_0=\bm b\\ A\bm x_1=\bm 0\\ A\bm x_2=\bm 0\\ \hspace{1cm}\vdots\\ A\bm x_r=\bm 0\\ \end{cases});

である。

線形代数で学ぶ「掃き出し法」は、「効率の良い問題の解き方」を学ぶためのものではなく、 どんな問題もこの方法で解けることと、解いた結果がどのような形になるかを分類できること、 を理解するのが重要なので、「別にこの方法でも解けるし、」などと考えず、 しっかり手順を身に着ける必要がある。