線形代数II/抽象線形空間/メモ のバックアップ(No.1)

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線形代数II/抽象線形空間

演習 †

x の２次以下の実係数多項式の集合 P^2[x] が線形空間の公理を満たすことを確かめよ。

解答例 †

\bm x\in P^2[x] であれば、 s,t,u\in \mathbb R を用いて \bm x=sx^2+tx+u の形に表せる。

さらに \bm y=s'x^2+t'x+u' \bm z=s''x^2+t''x+u'' ただし s',t',u',s'',t'',u''\in \mathbb R 、 a,b\in \mathbb R とすると、

1. ベクトル和の交換則

\bm x+\bm y=(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')=(s'x^2+t'x+u')+(sx^2+tx+u)=\bm y+\bm x

2. ベクトル和の結合則

&math((\bm x+\bm y)+\bm z&=\big\{(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\big\}+sx^2+tx+u''\\ &=(sx^2+tx+u)+\big\{(s'x^2+t'x+u')+(sx^2+tx+u'')\big\}=\bm x+(\bm y+\bm z));

3. ゼロ元の存在

\bm 0=0=0x^2+0x+x=\in P^2[x] と置けば、任意の \bm x=sx^2+tx+u に対して \bm 0+\bm x=0+sx^2+tx+u=sx^2+tx+u=\bm x \bm x+\bm 0=sx^2+tx+u+0=sx^2+tx+u=\bm x

4. スカラーの単位元

1\in\mathbb R に対して、任意の \bm x=sx^2+tx+u に対して 1\bm x=1(sx^2+tx+u)=sx^2+tx+u=\bm x

5. 逆元の存在

-\bm x=-sx^2-tx-u\in P^2[x] に対して \bm x+(-\bm x)=sx^2+tx+u-sx^2-tx-u=0=\bm 0

6. 分配法則(1)

(a+b)\bm x=(a+b)(sx^2+tx+u)=a(sx^2+tx+u)+b(sx^2+tx+u)=a\bm x+b\bm x

7. 分配法則(2)

a(\bm x+\bm y)=a\big\{(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\big\}=a(sx^2+tx+u)+a(s'x^2+t'x+u')=a\bm x+a\bm y

8. スカラー倍の結合法則

a(b\bm x)=a\big\{b(sx^2+tx+u)\big\}=(ab)(sx^2+tx+u)=(ab)\bm x

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