線形代数II/抽象線形空間/メモ のバックアップ(No.2)

演習 †

の２次以下の実係数多項式の集合 が線形空間の公理を満たすことを確かめよ。

解答例 †

であれば、 を用いて の形に表せる。

さらに ただし 、 とすると、

1. ベクトル和の交換則

&math(\bm x+\bm y&=(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\\ &=(s'x^2+t'x+u')+(sx^2+tx+u)=\bm y+\bm x);

2. ベクトル和の結合則

&math( &(\bm x+\bm y)+\bm z\\ &=\big\{(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\big\}+(sx^2+tx+u'')\\ &=(sx^2+tx+u)+\big\{(s'x^2+t'x+u')+(sx^2+tx+u'')\big\}\\ &=\bm x+(\bm y+\bm z));

3. ゼロ元の存在

と置けば、 任意の に対して

4. スカラーの単位元

に対して、任意の に対して

5. 逆元の存在

に対して

6. 分配法則(1)

&math( &(a+b)\bm x=(a+b)(sx^2+tx+u)\\ &=a(sx^2+tx+u)+b(sx^2+tx+u)\\ &=a\bm x+b\bm x);

7. 分配法則(2)

&math( &a(\bm x+\bm y)\\ &=a\big\{(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\big\}\\ &=a(sx^2+tx+u)+a(s'x^2+t'x+u')\\ &=a\bm x+a\bm y);

8. スカラー倍の結合法則

ベクトルの和やスカラー倍に要求される性質が、実数の和や積の公理（交換法則や結合法則、分配法則など）により保証されていることを実感せよ。