線形代数II/抽象線形空間/性質 のバックアップの現在との差分(No.2)
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[[線形代数Ⅱ/抽象線形空間]] * 目次 [#o9b6c415] [[線形代数II/抽象線形空間]] #contents &katex(); * 線形空間の公理から基本的な定理を導く [#dd385483] 以下に示すようなほぼ自明に見える線形空間の性質は、 公理から導かれる定理として証明される。 以下に示すようなほぼ自明に見える線形空間の性質を、 公理から導かれる定理として証明できる。 - ゼロ元はただ1つだけ存在する - 逆元はただ1つだけ存在する - 引き算を定義できる - &math(\bm x-\bm x=\bm 0); - &math(\bm a+\bm b=\bm a+\bm c → \bm b=\bm c); - &math(-\bm 0=\bm 0); - &math((-(-\bm x))=\bm x); - &math((-\bm x)=(-1)\bm x); - &math(0\bm x = \bm 0); ** 線形空間の公理 [#qe6be02b] &math( &\forall \bm x,\forall \bm y\in V, & \bm x+\bm y&=\bm y+\bm x &&\to ベクトル和に対する交換則 \\ &\forall \bm x,\forall \bm y,\forall \bm z\in V, & (\bm x+\bm y)+\bm z&=\bm x+(\bm y+\bm z) &&\to ベクトル和に対する結合則 \\ &\forall \bm x,\forall \bm y\in V, & \bm x+\bm y&=\bm y+\bm x &&\to ベクトル和の交換則 \\ &\forall \bm x,\forall \bm y,\forall \bm z\in V, & (\bm x+\bm y)+\bm z&=\bm x+(\bm y+\bm z) &&\to ベクトル和の結合則 \\ &\forall \bm x\in V,\exists\bm 0\in V, & \bm x+\bm 0&=\bm x &&\to ゼロ元の存在\\ &1\in K, \forall \bm x\in V, & 1\bm x&=\bm x &&\to 1倍\\ &\forall \bm x\in V,\exists (-\bm x)\in V, & \bm x+(-\bm x)&=\bm 0&&\to 逆元の存在\\ &\forall a,\forall b\in K, \forall \bm x\in V, & (a+b)\bm x&=a\bm x+b\bm x &&\to 分配則(1)\\ &\forall a\in K, \forall \bm x,\forall \bm y\in V, & a(\bm x+\bm y)&=a\bm x+a\bm y &&\to 分配則(2)\\ &\forall a,\forall b\in K,\forall \bm x\in V,&a(b\bm x)&=(ab)\bm x&&\to スカラー倍の結合則 ); ** ゼロ元はただ1つだけ存在する [#j804864f] 線形空間の公理には「ゼロ元が存在すること」が書かれているが、「1つしかないこと」は書かれていない。 「ゼロ元が1つしかないこと」は他の公理を組み合わせて証明可能な定理である。 &math(\bm 0,\bm 0'); がどちらもゼロ元であったとすると、 &math( \bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0') \\ &=\bm 0'+\bm 0 & & (和の交換則) \\ &=\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0) \bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & ゼロ元 \bm 0' \\ &=\bm 0'+\bm 0 & & 和の交換則 \\ &=\bm 0' & & ゼロ元 \bm 0 ); より、&math(\bm 0=\bm 0'); である。 ** 逆元はただ1つだけ存在する [#k19f92fe] &math(\bm x); の逆元が、&math((-\bm x),(-\bm x)'); の2つ存在したとすると、 &math( (-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && (ゼロ元) \\ &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\} && (逆元 (-\bm x)') \\ &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)' && (和の結合則) \\ &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)' && (和の交換則) \\ &=\bm 0+(-\bm x)' && (逆元 (-\bm x)) \\ &=(-\bm x)'+\bm 0 && (和の交換則) \\ &=(-\bm x)' && (ゼロ元) (-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && ゼロ元 \\ &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\} && 逆元 (-\bm x)' \\ &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)' && 和の結合則 \\ &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)' && 和の交換則 \\ &=\bm 0+(-\bm x)' && 逆元 (-\bm x) \\ &=(-\bm x)'+\bm 0 && 和の交換則 \\ &=(-\bm x)' && ゼロ元 ); ** 引き算 [#ce28fbed] &math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(\bm y); の逆元を &math((-\bm y)\in V); として、 &math(\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y)\in V); のようにベクトルの引き算を導入する。 ** x-x=0 [#f412ef86] 当然、&math(V); は引き算について閉じている。 ** $\bm x-\bm x=\bm 0$ [#f412ef86] &math( \bm x-\bm x&=\bm x+(-\bm x) && (引き算の定義)\\ &=\bm 0 &&(逆元) \bm x-\bm x&=\bm x+(-\bm x) && 引き算の定義\\ &=\bm 0 && 逆元 ); ** -(-x)=x [#j0014658] ** $\bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c$ [#dbff027d] &math((-\bm x)+\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0); より、 &math(\bm x); の逆元の逆元は &math(\bm x); ** a+b=a+c → b=c [#dbff027d] &math(\bm a+\bm b=\bm a+\bm c); の時、両辺から &math(\bm a); を引くと、 &math( (左辺)-\bm a&=(\bm b+\bm a)-\bm a && (交換則)\\ &=\bm b+(\bm a-\bm a) && (結合則)\\ &=\bm b+\bm 0 && (引き算の性質) \\ &=\bm b && (ゼロ元) (左辺)-\bm a&=(\bm b+\bm a)-\bm a && 交換則\\ &=\bm b+(\bm a-\bm a) && 結合則\\ &=\bm b+\bm 0 && 引き算の性質\\ &=\bm b && ゼロ元 ); 同様に &math((右辺)-\bm a=\bm c); となって、 &math(\bm b=\bm c); を得る。 ** (-x)=(-1)x [#vba03f70] ** $-\bm 0=\bm 0$ [#se0192e6] &math( 2\bm x+(-\bm x)&=(1+1)\bm x+(-\bm x) && (2=1+1)\\ &=(1\bm x+1\bm x)+(-\bm x) && (分配則) \\ &=(1\bm x+\bm x)+(-\bm x) && (1倍) \\ &=1\bm x+\{\bm x+(-\bm x)\} && (結合則) \\ &=1\bm x+\bm 0 && (逆元) \\ &=1\bm x && (ゼロ元) \\ &=\{2+(-1)\}\bm x && (1=2+(-1)) \\ &=2\bm x+(-1)\bm x && (分配則) \\ \begin{array}{lll} \bm 0+\bm 0=\bm 0 && ゼロ元の定義\\ \bm 0+(-\bm 0)=\bm 0 && 逆元の定義\\ \therefore \bm 0+\bm 0=\bm 0+(-\bm 0) && \\ \bm 0+\bm 0=(-\bm 0)+\bm 0 && 和の交換則\\ \bm0=-\bm 0 && \bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c \end{array} ); ** $(-(-x))=x$ [#j0014658] &math( &(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm 0 && 逆元の定義 \\ &\bm x+(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm x+\bm 0 && 両辺に \bm x を加えた \\ &\bm 0+(-(-\bm x))=\bm x && 逆元の性質とゼロ元の性質 \\ &(-(-\bm x))+\bm 0=\bm x && 交換則 \\ &(-(-\bm x))=\bm x && ゼロ元の性質 \\ ); ** $(-x)=(-1)x$ [#vba03f70] &math( 2\bm x+(-\bm x)&=(1+1)\bm x+(-\bm x) && 2=1+1 (実数の演算)\\ &=(1\bm x+1\bm x)+(-\bm x) && 分配則 \\ &=(1\bm x+\bm x)+(-\bm x) && 1倍 \\ &=1\bm x+\{\bm x+(-\bm x)\} && 結合則 \\ &=1\bm x+\bm 0 && 逆元 \\ &=1\bm x && ゼロ元 \\ &=\{2+(-1)\}\bm x && 1=2+(-1) \\ &=2\bm x+(-1)\bm x && 分配則 \\ ); &math(\therefore (-\bm x) = (-1)\bm x ); ** 0x = 0 [#vf4e783c] ** $0x = 0$ [#vf4e783c] &math(0\bm x=\{1+(-1)\}\bm x=\bm x+(-1)\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0); &math( 0\bm x&=\{1+(-1)\}\bm x \hspace{1cm} && 0=1+(-1) (実数の演算)\\ &=\bm x+(-1)\bm x && 分配法則と1倍\\ &=\bm x+(-\bm x) && (-1)\bm x=(-\bm x)\\ &=\bm 0 && 逆元 ); * 質問・コメント [#k462edbe] #article_kcaptcha
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