線形代数II/抽象線形空間 のバックアップの現在との差分(No.3)

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* 目次 [#k8eed96a]

#contents
&katex();

* 「線形代数学」の意味 [#zb5eb4b1]
* 4-1 線形空間 (あるいは ベクトル空間) [#ld04da61]

1年生の線形代数Iにおいて、「線形」の意味を教わった。
線形代数I では主に数ベクトルについて学んだ。

>関数 &math(f(\bm x)); が線形とは &math(f(a \bm x+b \bm y)=a f(\bm x)+b f(\bm y)); が成り立つこと
「線形空間」は数ベクトルに___類似した___代数的構造を表わす概念である。

では「代数学」とは何だろうか?
線形代数は「線形空間」について学ぶ学問である。

小学生から大学1年生まで、様々な「数」を学んだ。
** 定義 [#kd0f1115]

- &math(\mathbb N); 自然数 = 加算・乗算について閉じている
- &math(\mathbb Z); 整数  = 減算についても閉じている
- &math(\mathbb Q); 有理数 = 除算について「ほぼ」閉じている
- &math(\mathbb R); 実数  = 収束する有理数列の極限演算について閉じている
- &math(\mathbb C); 複素数 = 関数の求根操作について閉じている
まず、ある既知の「体」$K$ を想定する。((体は英語では field だが、ドイツ語の Körper の頭文字を取って $K$ で表すことが多い))~
>線形代数では $K=\mathbb R\ \mathrm{or}\ \mathbb C$ であることが多いが、四則演算(加減乗除)が可能であれば他の体でも良い
>$K$ の元はスカラーと呼ばれる

知っての通り &math(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C);
であり、これまでの数学では新しい「演算」の導入により「数の集合」を拡大する方向で学んできた。
- 「$K$ 上の線形空間」 $V$ は集合であり、その元をベクトルと呼ぶ~
   すなわち、$\bm x,\bm y\in V$ なら $\bm x,\bm y$ はベクトル
- 2つのベクトルの間に「和」が定義され、$V$ はベクトルの和に対して閉じている~
   すなわち、$\forall\bm x,\forall\bm y\in V$ に対して $\bm x+\bm y\in V$
- $K$ の元とベクトルとの間に「スカラー倍」が定義され、$V$ はスカラー倍に対して閉じている~
   すなわち、$\forall a\in K$、$\forall\bm x\in V$ に対して $a\bm x\in V$

- 解析学は主に &math(\mathbb C); の上(あるいは &math(\mathbb C^n); の上)で
極限や微積分を扱う数学である
さらに、これらの「和」と「スカラー倍」に対して次の公理が成立する。~

代数学は &math(\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C); の系列から外れて、~
例えば、
+ ベクトル和の交換則: $\forall \bm x,\forall \bm y\in V$ について $\bm x+\bm y=\bm y+\bm x$
+ ベクトル和の結合則: $\forall \bm x,\forall \bm y,\forall \bm z\in V$ について $(\bm x+\bm y)+\bm z=\bm x+(\bm y+\bm z)$
+ ゼロ元の存在: ある元 $\bm 0\in V$ が存在し、$\forall \bm x\in V$ について $\bm x+\bm 0=\bm x$ を満たす
+ スカラーの単位元: $1\in K$ について、$\forall \bm x\in V$ について、$1\bm x=\bm x$
+ 逆元の存在: $\forall \bm x\in V$ について $\bm x+(-\bm x)=\bm 0$ を満たす元 $-\bm x\in V$ が存在する
+ 分配法則(1): $\forall a,\forall b\in K$、$\forall \bm x\in V$ について、$(a+b)\bm x=a\bm x+b\bm x$
+ 分配法則(2): $\forall a\in K$、$\forall \bm x,\forall \bm y\in V$ について、$a(\bm x+\bm y)=a\bm x+a\bm y$
+ スカラー倍の結合法則: $\forall a,\forall b\in K$、$\forall \bm x\in V$ について、$a(b\bm x)=(ab)\bm x$

>乗算は定義されるが加算は定義されない数の集合
このとき、$V$ を $K$ 上の線形空間と呼ぶ。

などというように、「何らかの演算」が定義された「数の集合」を定め、
そこに現れる「構造」を研究する学問である。
「集合」について復習が必要な学生はこちらを参照 → [[線形代数I/ベクトル空間と線形写像#xe9fe451]]

これから学ぶ「ベクトル」も上で言う「数」の一員である。
** 細かいことは置いておいて [#jd9c7299]

* 代数学的構造の例:群 [#i1c86368]
線形空間の定義では、一見すると重要そうな 1. ~ 8. の公理よりも、
その前の「ベクトル和とスカラー倍に対して閉じた集合である」という部分が本質である。

ある「数」の集合 &math(\mathbb U); には演算 &math(*); が定義され、
&math(\mathbb U); は &math(*); について閉じているものとする。~
すなわち &math(x,y \in \mathbb U\rightarrow x*y\in \mathbb U); である。
上記のややこしい「公理」は、和やスカラー倍が持つべき最低限の性質を表わしただけのもので、
上記の公理を満たさないような演算を和やスカラー倍と呼びたくないということである。

さらにこの演算が次の性質を持つ時、
+ 結合法則 &math((a*b)*c=a*(b*c)); を満たす
+ &math(\mathbb U); には単位元 &math(1\in \mathbb U); が存在して、すべての &math(x \in \mathbb U); に対して &math(1*x=x*1=x); を満たす
+ すべての &math(x \in \mathbb U); に対して逆元 &math(y\in \mathbb U); が存在し、&math(x*y=y*x=1); を満たす
** 線形空間の例 [#v00e3d9f]

このような集合 &math(\mathbb U); は代数学において「群」と呼ばれる。
$V=\mathbb R^3,K=\mathbb R$ は線形空間である($\mathbb R^3$ は3次元実数ベクトルの集合)

一見すると、&math(\mathbb U); を有理数 &math(\mathbb Q);、&math(*); を通常の乗算 &math(\times); と考えれば
「群の公理」を満たしそうに思えるが、&math(0\in \mathbb Q); が逆元を持たないため、
有理数 &math(\mathbb Q); は乗算 &math(\times); に対して群とはならない。
$V=\mathbb R^3,K=\mathbb C$ は線形空間ではない!

&math(\mathbb U); を有理数 &math(\mathbb Q); からゼロを除いた集合 &math(\mathbb Q-\{0\});、&math(*); を通常の乗算 &math(\times);、単位元を &math(1); とすれば、この集合は群を為す。
$x$の2次以下の実係数多項式の集合 ( $P^2[x]=\set{ax^2+bx+c|a,b,c\in \mathbb R}, K=\mathbb R$ ) は、自然に定義される和と実数倍に対して線形空間となる(線形空間が「ベクトル同士の積」に対して閉じている必要がないことに注意せよ)

また、&math(\mathbb U); を整数 &math(\mathbb Z);、&math(*); を通常の加算 &math(+);、単位元を &math(0); と考えると、この場合も上記3つすべての条件を満たし、群を為す。
$V=\set{(3a,-a)\in \mathbb R^2|a\in \mathbb R}$ は $\mathbb R^2$ に定義される和と実数倍に対して線形空間となる

また、&math(\mathbb U); をゼロ以上の &math(k); の倍数 &math({nk|n\ge0 \& n\in \mathbb N});、&math(*); を通常の加算 &math(+);、単位元を &math(0); と考えると、この場合も上記3つすべての条件を満たし、群を為す。
2x2 行列全体は、自然に定義される和と定数倍に対して線形空間となる

「群」の定義は上記の通り非常に単純であるが、
その数学的構造は非常に奥深く、群論だけで数学の1分野となる。~
応用理工では結晶学や分子振動における点群や、ゲージ理論などにおける対称性に関する議論に重要な応用がある。
*** 演習 [#v1a2eade]

* その他の代数的構造 [#udbe5ccb]
$x$の2次以下の実係数多項式の集合 $P^2[x]$ が「実数上の線形空間」の公理を満たすことを確かめよ。
→ [[解答例>@線形代数II/抽象線形空間/メモ]]

- 半群 = 群の公理の 1. のみを公理とする集合
- 群 = 上記参照
- 可換群 = 群の公理に交換律 &math(a*b=b*a); を加えた集合
- 環 = 2つの演算 &math(+,*); を持ち、&math(+); に対して可換群、&math(*); に対して半群であり、分配法則 &math(a*(b+c)=a*b+a*c); が成立する
- 体 = 環でありかつ &math(*); が可換で単位元を持ち、0 以外に対して逆元を持つ
** 部分空間 [#t973d6bf]

これ以外にも数多く研究されている。
線形空間 $U$ の空でない部分集合 $V$($V\subset U, V\ne\set{}$)が
$U$ に定義されるベクトル和やスカラー倍に対して閉じているとき、
$V$ も線形空間となる。

このように、代数的構造は「数の集合」と「そこで定義される演算」の組み合わせに対して定義される。
(ベクトル和やスカラー倍は線形空間の公理を満たすため、
閉じていることのみが条件となる)

例えば 有理数 &math(\mathbb Q); は &math(+); に対して可換群であり、
&math(*); に対しても 0 を除いて可換群である。したがって上記の定義より、
有理数 &math(\mathbb Q); はこれらの演算に対して 体 を為す。
そこでしばしば「有理体」とも呼ばれる。
このとき、$V$ を $U$ の部分空間という。

* 代数的構造の意味 [#i732e7d6]
** 線形空間の性質 [#yedd6e56]

「代数的構造」の優れた点は数学的に類似の構造を持つ対象を抜き出して、
それらをまとめて議論できる点にある。
上のような一般の線形空間 $V$ がどこまで $\mathbb R^n$ と似ているかを考えるのが
当面の目標となる。

「類似点」を公理の形で記し、公理のみを基に定理を導くことにより、
実際に適用される対象に依存せず、その対象の性質のみから結論を導ける。
たとえば [[線形代数II/抽象線形空間/性質]] で見るように、
上記の公理を満たすすべての線形空間は、

* 線形空間 (あるいは ベクトル空間) [#ld04da61]
- ゼロ元はただ1つだけ存在する
- 逆元はただ1つだけ存在する
- 引き算を定義できる $\bm x-\bm y\equiv\bm x+(\bm yの逆元)$
- $\bm x-\bm x=\bm 0$
- $\bm a+\bm b=\bm a+\bm c → \bm b=\bm c$
- $-\bm 0=\bm 0$
- $-(-\bm x)=\bm x$
- $(-\bm x)=(-1)\bm x$
- $0\bm x = \bm 0$

線形空間は「代数的構造」を表わしており、定義は次の通り。
といった、数ベクトル空間と同じ性質を持つことを 「定理として証明」 できる。

まず、ある既知の「体」&math(K); を想定する。~
通常、&math(K); は実数 &math(\mathbb R); あるいは 複素数 &math(\mathbb C); に取られるが、必ずしもそうでなくても、ゼロ以外に対して自由に加減乗除が可能であるよう定義されていれば良い。ゼロによる除算は定義されない。
その他にも、任意の線形空間と数ベクトル空間との間には非常に多くの類似点がある。

- 線形空間 &math(V); は集合であり、その元をベクトルと呼ぶ~
すなわち、&math(\bm x,\bm y\in V); の時 &math(\bm x,\bm y); はベクトル
- 2つのベクトルの間に「和」が定義され、&math(V); はベクトルの和に対して閉じている~
すなわち、任意の &math(\bm x,\bm y\in V); に対して &math(\bm x+\bm y\in V);
- &math(K); の元とベクトルとの間に「スカラー倍」が定義され、&math(V); はスカラー倍に対して閉じている~
すなわち、任意の &math(\bm x\in V); 任意の &math(a\in K); に対して &math(a\bm x\in V);
 
さらに、これらの「和」と「スカラー倍」に対して次の公理が成立する。~
~

+ 任意の &math(\bm x,\bm y,\bm z\in V); について &math((\bm x+\bm y)+\bm z=\bm x+(\bm y+\bm z)); → ベクトルの和に対する結合律
+ 任意の &math(\bm x,\bm y\in V); について &math(\bm x+\bm y=\bm y+\bm x); → ベクトルの和に対する交換律
+ ある &math(\bm 0\in V); があって、任意の &math(\bm x\in V); について &math(\bm x+\bm 0=\bm x); → ゼロ元の存在
+ &math(1\in K); について、任意の &math(\bm x\in V); について、&math(1\bm x=\bm x); → スカラーの単位元
+ 任意の &math(a,b\in K);、任意の &math(\bm x\in V); について、&math((a+b)\bm x=a\bm x+b\bm x); → 分配法則(1)
+ 任意の &math(a\in K);、任意の &math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(a(\bm x+\bm y)=a\bm x+a\bm y); → 分配法則(2)
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線形代数I で学んだ &math(n); 次元数ベクトル &math(\mathbb R^n); がこれらの公理を満たすことはほぼ自明である。
* 質問・コメント [#x915949d]

逆に、これらの公理を満たす集合 &math(V); を考えた時に、その構造がどこまで &math(\mathbb R^n); 
と似てくるかを考えるのが以下の目標となる。
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