正規行列の対角化可能性 のバックアップ差分(No.3)
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[[線形代数Ⅱ]] * 正規行列 [#ua361752] 正規行列とは &math(A^\dagger A=A A^\dagger); を満たす行列 &math(A); ユニタリ行列により対角化可能であることと、正規行列であることとは同値である。 すなわち、 - ユニタリ行列により対角化可能であれば正規行列 - 正規行列であればユニタリ行列により対角化可能 の両方が証明可能。 ** 復習 [#x1856935] 随伴行列 &math(A^\dagger); は &math(\overline{{}^T\! A}); のことで、 転置行列の複素共役。これは転置行列の複素数版。 同様に、ユニタリ行列 &math(A^\dagger=A^{-1}); は直交行列 &math({}^T\!A=A^{-1}); の複素数版。 * ユニタリ行列により対角化可能であれば正規行列 [#p2b1755b] &math(U); をユニタリ行列 (&math(U^\dagger=U^{-1});)、 &math(\Lambda); を対角行列として(&math(\Lambda); は &math(\lambda); の大文字)、 &math( U^\dagger A U=\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \end{pmatrix}); が成り立つとき、 &math(A=U\Lambda U^\dagger); より、 &math( A^\dagger=(U\Lambda U^\dagger)^\dagger=U\Lambda^\dagger U^\dagger=U\overline{\Lambda}U^\dagger ); したがって、 &math(AA^\dagger=U\Lambda U^\dagger U\overline{\Lambda} U^\dagger=U\Lambda \overline{\Lambda} U^\dagger); &math(A^\dagger A=U\overline{\Lambda} U^\dagger U\Lambda U^\dagger=U\overline{\Lambda} \Lambda U^\dagger); ここで、 &math( \Lambda \overline{\Lambda}=\overline{\Lambda}\Lambda= \begin{pmatrix} |\lambda_1|^2\\ &|\lambda_2|^2\\ &&\ddots\\ &&&|\lambda_n|^2 \end{pmatrix} ); であるから、&math(AA^\dagger=A^\dagger A); が証明された。 * 正規行列であればユニタリ行列により対角化可能 [#hbdaa52d] &math(A); を &math(n); 次元行列として、&math(n); に対する数学的帰納法を用いる。 (1) &math(n=1); のとき &math(A); は始めから対角行列なので、&math(U=E); と取れば &math(U^\dagger A U); は対角行列である。 (2) &math(n-1); 次元で成り立つとすれば &math(n); 次元でも成り立つことを証明する。 &math(A\bm x_1=\lambda\bm x_1); を満たす &math(\lambda,\bm x_1); を、 任意の &math(A); に対して最低限1組は見つけられる。 この &math(\bm x_1); に対して、&math(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm_n); が正規直交系となるように &math(\bm x_2,\dots,\bm x_n); を定めれば、 &math(U=\Bigg(\bm x_1\ \bm x_2\ \dots\ \bm_n\Bigg); はユニタリ行列となる。~ (ユニタリ行列の列ベクトルは正規直交系であった) &math( U^\dagger AU&=U^\dagger \Bigg( A\bm x_1\ A\bm x_2\ \dots\ A\bm x_n \Bigg)\\ &= \begin{pmatrix} \bm x_1^\dagger\\\bm x_2^\dagger\\\vdots\\\ \ \bm x_n^\dagger\ \ \end{pmatrix} \Bigg( \lambda\bm x_1\ A\bm x_2\ \dots\ A\bm x_n \Bigg)=\begin{pmatrix} \ \lambda & \bm b^\dagger \\ \ \bm 0 & \ \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}A'\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix} ); ここで、 - &math(\bm b^\dagger); は &math(n-1); 次元の横ベクトル - &math(A'); は &math(n-1); 次元の正方ベクトル で、中身は &math(A); や &math(U); によって決まる。 ここまでは任意の行列 &math(A); に対して成り立つ話。~ ここで &math(A); が正規行列であるという条件を使う。 &math( (U^\dagger AU)^\dagger=U^\dagger A^\dagger U = \begin{pmatrix} \ \overline \lambda & {}^T\bm 0 \\ \ \bm b & \ \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}^\dagger\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix} ); であるから、 &math( (U^\dagger A U)(U^\dagger A^\dagger U)=U^\dagger AA^\dagger U=\begin{pmatrix} \ \lambda & \bm b^\dagger \\ \ \bm 0 & \ \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \ \overline \lambda & {}^T\bm 0 \\ \ \bm b & \ \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}^\dagger\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix} ); &math( U^\dagger AA^\dagger U=\begin{pmatrix} \ |\lambda|^2+\|\bm b\|^2 & \bm b^\dagger {A'}^\dagger \\ \ A'\bm b & \ \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}{A'}^\dagger\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix} ); 同様に、 &math( U^\dagger A^\dagger A U=\begin{pmatrix} \ |\lambda|^2 & \lambda\bm b^\dagger \\ \ \lambda\bm b & \ \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}^\dagger{A'}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix} ); これらが等しくなるから、 - &math(\bm b=\bm 0); - &math(A'{A'}^\dagger={A'}^\dagger A'); すなわち、 &math( U^\dagger AU=\begin{pmatrix} \ \lambda & {}^T\bm 0 \\ \ \bm 0 & \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}A'\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix} ); ここで、&math(A'); は &math(n-1); 次元の正規行列であるから、 ある &math(n-1); 次元ユニタリ行列 &math(U'); を用いて、 &math({U'}^\dagger A'U'=\Lambda'); のように対角化可能である。 この &math(U'); を用いて、&math(n); 次元正方行列 &math(U''=\begin{pmatrix} 1&{}^T\bm 0\\ \bm 0&\rule{10pt}{0pt}\rule[-15pt]{0pt}{30pt}U'\rule[-15pt]{0pt}{30pt}\rule{10pt}{0pt} \end{pmatrix} ); を作るとこれはユニタリ行列で、 &math( {U''}^\dagger (U^\dagger AU)U''=\begin{pmatrix} \ \lambda & {}^T\bm 0 \\ \ \bm 0 & \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{U'}^\dagger A'U'\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \ \lambda & {}^T\bm 0 \\ \ \bm 0 & \rule{20pt}{0pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\Lambda'\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\rule{20pt}{0pt} \end{pmatrix} ); 右辺は対角行列になっており、 左辺は &math(UU''=U'''); と置けば &math({U'''}^\dagger AU'''); と書け、 ユニタリ行列は積について閉じていることから、&math(U'''); もユニタリ行列である。 すなわち、&math(n); 次元正規行列 &math(A); をユニタリ行列 &math(U'''); を用いて対角化できることが証明された。 * 質問・コメント [#nd96801f] #article_kcaptcha
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