相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存 のバックアップ(No.2)

階数 †

任意の正則行列 に対して であるから、

トレース †

行列のトレースは、対角要素の和で定義されるのであった。

まず、トレースはかけ算の入れ替えで変化しない。

なぜなら、 より、

&math( \tr AB &=\sum_{k=1}^n \sum_{m=1}^n a_{km}b_{mk}\\ &=\sum_{m=1}^n \sum_{k=1}^n b_{mk}a_{km}\\ &=\tr BA );

したがって、

行列式 †

と を用いて、

固有方程式 †

行列式の性質を使って、

&math( &|P^{-1}AP-\lambda E|\\ &=|P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P|\\ &=|P^{-1}(A-\lambda E)P|\\ &=|P^{-1}||A-\lambda E||P|\\ &=|A-\lambda E| );

固有値 †

固有方程式の解が固有値だから、固有方程式が等しければ当然固有値も等しくなる。