相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存 のバックアップ(No.3)
更新相似変換 †
正則行列 を用いた の変換:
相似変換は階数、トレース、行列式、固有値を保存する †
- 階数:
- トレース:
- 行列式:
- 固有方程式:
- 固有値は固有方程式の解
階数 †
任意の正則行列 に対して であるから、
トレース †
行列のトレースは、対角要素の和で定義されるのであった。
まず、トレースはかけ算の入れ替えで変化しない。
なぜなら、 より、
&math( \tr AB &=\sum_{k=1}^n \sum_{m=1}^n a_{km}b_{mk}\\ &=\sum_{m=1}^n \sum_{k=1}^n b_{mk}a_{km}\\ &=\tr BA );
したがって、
行列式 †
と を用いて、
固有方程式 †
行列式の性質を使って、
&math( &|P^{-1}AP-\lambda E|\\ &=|P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P|\\ &=|P^{-1}(A-\lambda E)P|\\ &=|P^{-1}||A-\lambda E||P|\\ &=|A-\lambda E| );
固有値 †
固有方程式の解が固有値だから、固有方程式が等しければ当然固有値も等しくなる。
質問・コメント †
線形代数のテスト †
chihiro? ()
明日、線形代数のテストがあるんですけど、最低押さえておけば良いところうを教えてください。
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