相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存 のバックアップソース(No.3)

更新

[[線形代数II]]

* 相似変換 [#cd78d253]

正則行列 &math(P); を用いた &math(A\to A'); の変換:

&math(A'=P^{-1}AP); 

* 相似変換は階数、トレース、行列式、固有値を保存する [#t9f02c55]

- 階数: &math(\rank (P^{-1}AP)=\rank A);
- トレース: &math(\tr (P^{-1}AP)=\tr A);
- 行列式: &math(|P^{-1}AP|=|A|);
- 固有方程式: &math(|P^{-1}AP-\lambda E|=|A-\lambda E|);
- 固有値は固有方程式の解

** 階数 [#i6f26cdd]

任意の正則行列 &math(P,P'); に対して &math(\rank A=\rank PA=\rank AP'); であるから、

&math(\rank P^{-1}AP=\rank AP=\rank A);

** トレース [#o4d349e1]

行列のトレースは、対角要素の和で定義されるのであった。

&math(\tr A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}=\sum_{k=1}^n a_{kk});

まず、トレースはかけ算の入れ替えで変化しない。

&math(\tr AB=\tr BA);

なぜなら、&math((AB)_{ij}=\sum_{m=1}^n a_{im}b_{mj}); より、

&math(
\tr AB
&=\sum_{k=1}^n \sum_{m=1}^n a_{km}b_{mk}\\
&=\sum_{m=1}^n \sum_{k=1}^n b_{mk}a_{km}\\
&=\tr BA
);

したがって、

&math(\tr P^{-1}AP=\tr P^{-1}PA=\tr EA=\tr A);

** 行列式 [#gc6840dd]

&math(|AB|=|A||B|); と &math(|E|=1); を用いて、

&math(|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|P^{-1}||P||A|=|P^{-1}P||A|=|E||A|=1|A|=|A|);

** 固有方程式 [#lba85d68]

行列式の性質を使って、

&math(
&|P^{-1}AP-\lambda E|\\
&=|P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P|\\
&=|P^{-1}(A-\lambda E)P|\\
&=|P^{-1}||A-\lambda E||P|\\
&=|A-\lambda E|
);

** 固有値 [#r175eab7]

固有方程式の解が固有値だから、固有方程式が等しければ当然固有値も等しくなる。

* 質問・コメント [#xab798c8]

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**線形代数のテスト [#d84b0fd7]
>[[chihiro]] (&timetag(2017-02-05T09:45:15+09:00, 2017-02-05 (日) 18:45:15);)~
~
明日、線形代数のテストがあるんですけど、最低押さえておけば良いところうを教えてください。~

//

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