線形写像の行列表現と階数のバックアップソース(No.12)

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* 線形写像の行列表現 [#dbb71d8a]

線形写像 &math(T:V\to V'); を考える。ただし、&math(\dim V=n,\dim V'=m);

すなわち &math(\forall\bm x\in V); に対して &math(\bm y=T(\bm x)\in V');

&math(V); の基底 &math(A=\set{ \bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n });

&math(V'); の基底 &math(B=\set{ \bm b_1, \bm b_2,\dots,\bm b_m });

を考えれば、&math(\bm x); や &math(\bm y); の表現を定められる。

&math(\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_A);

&math(\bm y=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_m\end{pmatrix}\bm y_B);

これらの関係は図のようになる。

&attachref(写像の表現行列.png,,50%);

&math(\bm x_A\mapsto \bm x);、
&math(\bm x\mapsto \bm y);、
&math(\bm y\mapsto \bm y_B); はそれぞれ線形写像なので、
それらの合成写像である &math(\bm x_A\mapsto \bm y_B);
も線形写像となる。

すなわち、&math(m\times n); 行列 &math(T_{BA}); を使って、

&math(\bm y_B=T_{BA}\bm x_A);

と表せる。この行列 &math(T_{BA}); を、線形写像 &math(T); の行列表現と呼ぶ。

* $T_{BA}$ の具体的な形 [#g41a76b2]

&math(\bm a_i); を &math(T); で移した &math(T(\bm a_i)); を考えると、
その &math(B); による表現 &math(T(\bm a_i)_B); は、

&math(T(\bm a_i)_B=T_{BA}\bm a_{iA});

として求められる。

&math(\bm a_{iA}); は、基底ベクトル &math(\bm a_i); の &math(A); に対する表現なので明らかに、

&math(
\bm a_{iA}
=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix}
);

したがって、&math(T_{BA}=\begin{pmatrix}\bm t_1&\bm t_2&\dots&\bm t_n\end{pmatrix}); と置くと、

&math(T(\bm a_i)_B=T_{BA}\bm a_{iA}=\bm t_i);

すなわち、

&math(T_{BA}=
\begin{pmatrix}T(\bm a_1)_B&T(\bm a_2)_B&\dots&T(\bm a_n)_B\end{pmatrix}
);

線形写像の行列表現は、~
元となる空間の基底ベクトルに線形写像を施して、~
先となる空間の基底で表現したものを列ベクトルとする。

* 基底の変換行列との関係 [#p300f69d]

先にやった基底の変換行列 &math(P_{B\to A}); は、
上記 &math(T); を恒等変換 &math(E); に置き換えた形と等しい（&math(\bm y=\bm x);）

すなわち、&math(P_{B\to A}=E_{AB});

* 行列表現の基底変換 [#h36109ed]

&math(A); から &math(A'); および、
&math(B); から &math(B'); の基底の変換を考える。

&math(\bm y_B=T_{BA}\bm x_A); に、
&math(\bm x_A=P_{A\to A'}\bm x_{A'});、
&math(\bm y_B=P_{B\to B'}\bm y_{B'}); を適用すれば、

&math(P_{B\to B'}\bm y_{B'}=T_{BA}P_{A\to A'}\bm x_{A'});

&math(
\bm y_{B'}&=T_{B'A'}\bm x_{A'}\\
&=\underbrace{(P_{B\to B'})^{-1}}_{P_{B'\to B}}\ \underbrace{T_{BA}\ \underbrace{(P_{A\to A'})\bm x_{A'}}_{\bm x_A}}_{\bm y_B}
);

したがって、

&math(T_{B'A'}=(P_{B\to B'})^{-1}T_{BA}(P_{A\to A'}));

** 基底変換と階数 [#a76e7519]

行列の階数は正則行列のかけ算では変化しないことを１年生で学んだ。
すなわち、&math(P,P'); が正則の時、

&math(\rank A=\rank (PA)=\rank(AP'));

したがって、線形変換の行列表現の階数も任意の基底変換で保存する。

&math(\rank T=\rank T_{AB}=\rank T_{A'B'}=\rank T_{A''B''}=\dots);

** 線形変換である場合 [#q04bca02]

&math(T:V\to V); すなわち「線形変換」であるときは
&math(B=A); なので、このとき &math(T_A=T_{AA}); と書けば、

&math(T_{A'}=(P_{A\to A'})^{-1}T_A(P_{A\to A'}));

すなわち、&math(T_A); と &math(T_{A'}); とは 線形代数I で学んだ「相似」の関係にある。

** トレース、行列式、固有値 [#yc52ca9d]

相似な行列 &math(T_A=P_{B\to A}^{-1}T_BP_{B\to A}); では、
- トレース：　　&math(\tr T_A=\tr T_B);
- 行列式：　　　&math(\det T_A=\det T_B);
- 階数：　　　　　&math(\rank T_A=\rank T_B);
- 固有方程式：　&math(|T_A-\lambda E|=|T_B-\lambda E|=0);

が等しくなることを１年生で学んだ。

すなわち線形変換 &math(T); を定めれば、基底を指定しなくてもこれらの値が定まることになる。

したがって、%%%線形変換の%%%
トレース &math(\tr T);、デターミナント &math(\det T);、
階数 &math(\rank T);、固有値 &math(\lambda_1,\lambda_2,\dots); 
を具体的な基底を与えることなく定義できる。

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* 質問・コメント [#ua08da5d]

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