線形写像の行列表現と階数 のバックアップソース(No.16)
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#contents
#mathjax
* 線形写像の行列表現 [#dbb71d8a]
線形写像 &math(T:V\to V'); を考える。ただし、&math(\dim V=n,\dim V'=m);
すなわち &math(\forall\bm x\in V); に対して &math(\bm y=T(\bm x)\in V');
&math(V); の基底 &math(A=\set{ \bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n });
&math(V'); の基底 &math(B=\set{ \bm b_1, \bm b_2,\dots,\bm b_m });
を考えれば、&math(\bm x); や &math(\bm y); の表現を定められる。
&math(\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_A);
&math(\bm y=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_m\end{pmatrix}\bm y_B);
これらの関係は図のようになる。
&attachref(写像の表現行列.png,,50%);
&math(\bm x_A\mapsto \bm x);、
&math(\bm x\mapsto \bm y);、
&math(\bm y\mapsto \bm y_B); はそれぞれ線形写像なので、
それらの合成写像である &math(\bm x_A\mapsto \bm y_B);
も線形写像となる。
** 数ベクトルから数ベクトルへの線形写像は行列のかけ算で表せる [#hd44a9a6]
&math(n); 次元数ベクトル &math(\bm x_A); を成分表示して、
&math(\bm x_A=\sum_{k=1}^n x_{Ak}\bm e_k);
と書けば、
&math(
\bm y_B&=T_{BA}\bm x_A\\
&=\sum_{k=1}^n x_{Ak}T_{BA}\bm e_k\\
&=\begin{pmatrix}\\
T_{BA}\bm e_1\ \ T_{BA}\bm e_2\ \ \dots\ \ T_{BA}\bm e_n\\\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{A1}\\x_{A2}\\\vdots\\x_{An}\\
\end{pmatrix}\\
&=\underbrace{\begin{pmatrix}\\
T_{BA}\bm e_1\ \ T_{BA}\bm e_2\ \ \dots\ \ T_{BA}\bm e_n\\\\
\end{pmatrix}}_{m\times n 行列}\bm x_a
);
** 一般の線形写像の行列表現 [#k5d83188]
すなわち、上記 &math(\bm x_A); から &math(\bm x_B); への線形写像は
&math(m\times n); 行列 &math(T_{BA}); を使って、
&math(\bm y_B=T_{BA}\bm x_A);
と表せる。この行列 &math(T_{BA}); を、線形写像 &math(T); の行列表現と呼ぶ。
* $T_{BA}$ の具体的な形 [#g41a76b2]
&math(T_{BA}=\Big(\bm t_1\ \bm t_2\ \dots\ \bm t_n\Big)); と置くと、当然
&math(\bm t_i=T_{BA}
\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}
\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix}
);
これと、&math(T(\bm x)_B=T_{BA}\bm x_A); とを比べると、
&math(\bm x_A=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}); のとき、&math(T(\bm x)_B=\bm t);
&math(\bm x_A); の定義より、
&math(\bm x=\Big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Big)\bm x_A=\Big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Big)\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\bm a_i);
だから、
&math(\bm t=T(\bm a_i)_B);
すなわち、
&math(T_{BA}=
\begin{pmatrix}T(\bm a_1)_B&T(\bm a_2)_B&\dots&T(\bm a_n)_B\end{pmatrix}
);
線形写像の行列表現は、~
元となる空間の基底ベクトルに線形写像を施して、~
先となる空間の基底で表現したものを列ベクトルとする。
* 基底の変換行列との関係 [#p300f69d]
先にやった基底の変換行列 &math(P_{B\to A}); は、
上記 &math(T); を恒等変換 &math(E); に置き換えた形と等しい（&math(\bm y=\bm x);）
すなわち、&math(P_{B\to A}=E_{AB});
* 行列表現の基底変換 [#h36109ed]
&math(A); から &math(A'); および、
&math(B); から &math(B'); の基底の変換を考える。
&math(\bm y_B=T_{BA}\bm x_A); に、
&math(\bm x_A=P_{A\to A'}\bm x_{A'});、
&math(\bm y_B=P_{B\to B'}\bm y_{B'}); を適用すれば、
&math(P_{B\to B'}\bm y_{B'}=T_{BA}P_{A\to A'}\bm x_{A'});
&math(
\bm y_{B'}&=T_{B'A'}\bm x_{A'}\\
&=\underbrace{(P_{B\to B'})^{-1}}_{P_{B'\to B}}\ \underbrace{T_{BA}\ \underbrace{(P_{A\to A'})\bm x_{A'}}_{\bm x_A}}_{\bm y_B}
);
したがって、
&math(T_{B'A'}=(P_{B\to B'})^{-1}T_{BA}(P_{A\to A'}));
** 基底変換と階数 [#a76e7519]
行列の階数は正則行列のかけ算では変化しないことを１年生で学んだ。
すなわち、&math(P,P'); が正則の時、
&math(\rank A=\rank (PA)=\rank(AP'));
したがって、線形写像の行列表現の階数も任意の基底変換で保存する。
&math(\rank T=\rank T_{AB}=\rank T_{A'B'}=\rank T_{A''B''}=\dots);
** 基底変換の例 [#vc0deb6a]
&math(T:P^2[x]\to P^1[x]); が &math(\bm x\mapsto\frac{d}{dx}\bm x); で与えられるものとする。
すなわち、&math(\bm x=ax^2+bx+c); のとき、&math(T\bm x=2ax+b);
これを、
&math(A=\big\{x^2,\ x,\ 1\big\});、
&math(B=\big\{x,\ 1\big\}); を使って表わせば、
&math(
\begin{pmatrix}2a\\b\end{pmatrix}=T_{BA}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix});
より、&math(T_{BA}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix});
一方、
&math(A'=\big\{x^2+x+1,\ x+1,\ 1\big\});、
&math(B'=\big\{x+1,\ 1\big\}); を使って表わせば、
&math(\bm x=a(x^2+x+1)+b(x+1)+c); のとき、~
&math(T\bm x&=2ax+a+b\\&=2a(x+1)+(-a+b)); より、
&math(
\begin{pmatrix}2a\\-a+b\end{pmatrix}=T_{B'A'}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix});
より、&math(T_{B'A'}=\begin{pmatrix}2&0&0\\-1&1&0\end{pmatrix});
また、
&math(\Big(x^2+x+1\ \ x+1\ \ 1\Big)=\Big(x^2\ \ x\ \ 1\Big)P_{A\to A'}); より、~
&math(P_{A\to A'}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});
&math(\Big(x+1\ \ 1\Big)=\Big(x\ \ 1\Big)P_{B\to B'}); より、~
&math(P_{B\to B'}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix});
これらを用いて、
&math(\left(P_{B\to B'}\right)^{-1}T_{BA}P_{A\to A'});~
&math(=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});~
&math(=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});~
&math(=\begin{pmatrix}2&0&0\\-2&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});~
&math(=\begin{pmatrix}2&0&0\\-1&1&0\end{pmatrix});~
&math(=T_{B'A'});
を確かめられる。
** 演習 [#bbc850ee]
&math(T:P^2(x)\to P^2(x)); が &math(\bm x\mapsto \frac{d}{dx}\Big\{(x+1)\bm x\Big\}); で与えられる。
(1) 上記の基底 &math(A, A'); に対する &math(T); の表現
&math(T_A=T_{AA});、&math(T_{A'}=T_{A'A'}); を求めよ
(2) &math(A); から &math(A'); への変換行列 &math(P_{A\to A'}); に対して下記を確かめよ
&math(T_{A'}=\left(P_{A\to A'}\right)^{-1}T_AP_{A\to A'});
** 線形変換である場合 [#q04bca02]
&math(T:V\to V); すなわち「線形変換」であるときは
&math(B=A); なので、このとき &math(T_A=T_{AA}); と書けば、
&math(T_{A'}=(P_{A\to A'})^{-1}T_A(P_{A\to A'}));
すなわち、&math(T_A); と &math(T_{A'}); とは 線形代数I で学んだ「相似」の関係にある。
** トレース、行列式、固有値 [#yc52ca9d]
相似な行列 &math(T_A=P_{B\to A}^{-1}T_BP_{B\to A}); では、
- トレース： &math(\tr T_A=\tr T_B);
- 行列式： &math(\det T_A=\det T_B);
- 階数： &math(\rank T_A=\rank T_B);
- 固有方程式： &math(|T_A-\lambda E|=|T_B-\lambda E|=0);
が等しくなることを１年生で学んだ。→ [[相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存>線形代数II/相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存]]
すなわち線形変換 &math(T); を定めれば、基底を指定しなくてもこれらの値が定まることになる。
したがって、%%%線形変換の%%%
トレース &math(\tr T);、デターミナント &math(\det T);、
階数 &math(\rank T);、固有値 &math(\lambda_1,\lambda_2,\dots);
を具体的な基底を与えることなく定義できる。
~
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* 質問・コメント [#ua08da5d]
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