線形写像の行列表現と階数 のバックアップ(No.3)

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線形代数Ⅱ?

線形変換の行列表現

線形変換 T:V\to V' を考える。ただし、 \dim V=n,\dim V'=m

すなわち \bm x\in V に対して \bm y=T(\bm x)\in V'

V の基底 \widetilde A=\set{\bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n}

V' の基底 \widetilde B=\set{\bm b_1, \bm b_2,\dots,\bm b_m}

を考えれば、 \bm x \bm y の表現を定められ、

\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{\widetilde A}

\bm y=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_m\end{pmatrix}\bm y_{\widetilde B}

これらの関係は図のようになる。

写像の表現行列.png

\bm x_{\widetilde A}\to \bm x \bm x\to \bm y \bm y\to\bm y_{\widetilde B} はそれぞれ線形変換なので、 それらの合成変換である \bm x_{\widetilde A}\to \bm y_{\widetilde B} も線形変換となる。

すなわち、 m\times n 行列 T_{\widetilde B\widetilde A} を使って、

\bm y_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}

と表せる。この行列を、線形変換 T の行列表現と呼ぶ。

$T_{\widetilde B\widetilde A}$ の具体的な形

基底ベクトル \bm a_i \widetilde A に対する表現 \bm a_{i\widetilde A} は、

&math(\bm a_i &=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm a_{i\widetilde A} );

より、

&math( \bm a_{i\widetilde A} =\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix} );

一方、 \bm a_i T で移した T(\bm a_i) V' のベクトルなので、その \widetilde B による表現 T(\bm a_i)_{\widetilde B} を考えることができて、&math(T_{\widetilde B\widetilde A}= \begin{pmatrix}\bm t_1&\bm t_2&\dots&\bm t_n\end{pmatrix} ); と置けば、

T(\bm a_i)_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm a_{i\widetilde A}=\bm t_i

すなわち、

&math(T_{\widetilde B\widetilde A}= \begin{pmatrix}T(\bm a_1)_{\widetilde B}&T(\bm a_2)_{\widetilde B}&\dots&T(\bm a_n)_{\widetilde B}\end{pmatrix} );

線形写像の行列表現は、
元となる空間の基底ベクトルを変換して、
先となる空間の基底で表現したものを列ベクトルとする。

基底の変換行列との関係

先にやった基底の変換行列 P_{\widetilde B\to\widetilde A} は、 上記の T を恒等変換 E に置き換えた形と等しい( \bm x=\bm y )。

すなわち、 P_{\widetilde B\to\widetilde A}=E_{\widetilde B\widetilde A}

行列表現の基底変換

\widetilde A から \widetilde A' あるいは \widetilde B から \widetilde B' といった基底の変換を考える。

&math( &\bm y_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\ &\phantom{\bm y_{\widetilde B}}=T_{\widetilde B\widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'}\\ &\bm x_{\widetilde A}=P_{\widetilde A\to \widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'} より、\\ &T_{\widetilde B\widetilde A'}=T_{\widetilde B\widetilde A}P_{\widetilde A\to \widetilde A'} );    &math( &\bm y_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\ &\bm y_{\widetilde B'}=T_{\widetilde B'\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\ &\bm y_{\widetilde B}=P_{\widetilde B\to \widetilde B'}\bm y_{\widetilde B'} より、\\ &T_{\widetilde B'\widetilde A}=(P_{\widetilde B\to \widetilde B'})^{-1}T_{\widetilde B\widetilde A} );

両者を合わせると、

T_{\widetilde B'\widetilde A'}=(P_{\widetilde B\to \widetilde B'})^{-1}T_{\widetilde B\widetilde A}(P_{\widetilde A\to \widetilde A'})

特に、 T:V\to V すなわち「線形変換」であるときは、 V の基底を定めるだけで行列表現が求まる。 このとき T_{\widetilde A}=T_{\widetilde A\widetilde A} と書けば、

T_{\widetilde A'}=(P_{\widetilde A\to \widetilde A'})^{-1}T_{\widetilde A}(P_{\widetilde A\to \widetilde A'})

すなわち、 T_{\widetilde A} T_{\widetilde A'} とは 線形代数I で学んだ 「相似」の関係にあることになる。

線形写像の階数と行列表現の階数

両者は一致するのだが、証明は時間があれば戻って行うこととして、 とりあえず省略。

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