線形写像の行列表現と階数 のバックアップソース(No.5)

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[[線形代数Ⅱ]]

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* 線形写像の行列表現 [#dbb71d8a]

線形写像 &math(T:V\to V'); を考える。ただし、&math(\dim V=n,\dim V'=m);

すなわち &math(\bm x\in V); に対して &math(\bm y=T(\bm x)\in V');

&math(V); の基底 &math(\widetilde A=\set{\bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n});

&math(V'); の基底 &math(\widetilde B=\set{\bm b_1, \bm b_2,\dots,\bm b_m});

を考えれば、&math(\bm x); や &math(\bm y); の表現を定められ、

&math(\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{\widetilde A});

&math(\bm y=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_m\end{pmatrix}\bm y_{\widetilde B});

これらの関係は図のようになる。

&attachref(写像の表現行列.png,,50%);

&math(\bm x_{\widetilde A}\to \bm x);、
&math(\bm x\to \bm y);、
&math(\bm y\to\bm y_{\widetilde B}); はそれぞれ線形写像なので、
それらの合成写像である &math(\bm x_{\widetilde A}\to \bm y_{\widetilde B});
も線形写像となる。

すなわち、&math(m\times n); 行列 &math(T_{\widetilde B\widetilde A}); を使って、

&math(\bm y_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm x_{\widetilde A});

と表せる。この行列を、線形写像 &math(T); の行列表現と呼ぶ。

* $T_{\widetilde B\widetilde A}$ の具体的な形 [#g41a76b2]

基底ベクトル &math(\bm a_i); の &math(\widetilde A); に対する表現 &math(\bm a_{i\widetilde A}); は、

&math(\bm a_i
&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm a_{i\widetilde A}
);

より、

&math(
\bm a_{i\widetilde A}
=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix}
);

一方、&math(\bm a_i); を &math(T); で移した &math(T(\bm a_i)); は
&math(V'); のベクトルなので、その &math(\widetilde B); による表現 &math(T(\bm a_i)_{\widetilde B}); を考えることができて、&math(T_{\widetilde B\widetilde A}=\begin{pmatrix}\bm t_1&\bm t_2&\dots&\bm t_n\end{pmatrix}); と置けば、

&math(T(\bm a_i)_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm a_{i\widetilde A}=\bm t_i);

すなわち、

&math(T_{\widetilde B\widetilde A}=
\begin{pmatrix}T(\bm a_1)_{\widetilde B}&T(\bm a_2)_{\widetilde B}&\dots&T(\bm a_n)_{\widetilde B}\end{pmatrix}
);

線形写像の行列表現は、~
元となる空間の基底ベクトルを移して、~
先となる空間の基底で表現したものを列ベクトルとする。

* 基底の変換行列との関係 [#p300f69d]

先にやった基底の変換行列 &math(P_{\widetilde B\to\widetilde A}); は、
上記の &math(T); を恒等変換 &math(E); に置き換えた形と等しい(&math(\bm x=\bm y);)。

すなわち、&math(P_{\widetilde B\to\widetilde A}=E_{\widetilde B\widetilde A});

* 行列表現の基底変換 [#h36109ed]

&math(\widetilde A); から &math(\widetilde A'); あるいは
&math(\widetilde B); から &math(\widetilde B'); といった基底の変換を考える。

&math(
&\bm y_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\
&\phantom{\bm y_{\widetilde B}}=T_{\widetilde B\widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'}\\
&\bm x_{\widetilde A}=P_{\widetilde A\to \widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'} より、\\
&T_{\widetilde B\widetilde A'}=T_{\widetilde B\widetilde A}P_{\widetilde A\to \widetilde A'}
);   
&math(
&\bm y_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\
&\bm y_{\widetilde B'}=T_{\widetilde B'\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\
&\bm y_{\widetilde B}=P_{\widetilde B\to \widetilde B'}\bm y_{\widetilde B'} より、\\
&T_{\widetilde B'\widetilde A}=(P_{\widetilde B\to \widetilde B'})^{-1}T_{\widetilde B\widetilde A}
);

両者を合わせると、

&math(T_{\widetilde B'\widetilde A'}=(P_{\widetilde B\to \widetilde B'})^{-1}T_{\widetilde B\widetilde A}(P_{\widetilde A\to \widetilde A'}));

特に、&math(T:V\to V); すなわち「線形変換」であるときは、
&math(V); の基底を定めるだけで行列表現が求まる。
このとき &math(T_{\widetilde A}=T_{\widetilde A\widetilde A}); と書けば、

&math(T_{\widetilde A'}=(P_{\widetilde A\to \widetilde A'})^{-1}T_{\widetilde A}(P_{\widetilde A\to \widetilde A'}));

すなわち、&math(T_{\widetilde A}); と &math(T_{\widetilde A'}); とは 線形代数I で学んだ
「相似」の関係にあることになる。

&math(\bm y_{\widetilde A}=T_{\widetilde A}\bm x_{\widetilde A});

&math(\bm y_{\widetilde A'}=T_{\widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'});

&math(\bm y_{\widetilde A}=P_{\widetilde A\to \widetilde A'}\bm y_{\widetilde A'});

&math(\bm x_{\widetilde A'}=P_{\widetilde A'\to \widetilde A}\bm x_{\widetilde A});

と、

&math(
\bm y_{\widetilde A'}&=T_{\widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'}\\
&=\underbrace{(P_{\widetilde A\to \widetilde A'})^{-1}}_{P_{\widetilde A'\to \widetilde A}}\ \underbrace{T_{\widetilde A}\ \underbrace{(P_{\widetilde A\to \widetilde A'})\bm x_{\widetilde A'}}_{\bm x_{\widetilde A}}}_{\bm y_{\widetilde A}});

とを見比べて理解したい。

* 線形写像の階数と行列表現の階数 [#b16891c0]

両者は一致するのだが、証明は時間があれば戻って行うこととして、
とりあえず省略。

* 質問・コメント [#ua08da5d]

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