線形写像の行列表現と階数 のバックアップ(No.8)

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線形写像の行列表現 †

線形写像 T:V\to V' を考える。ただし、 \dim V=n,\dim V'=m

すなわち \forall\bm x\in V に対して \bm y=T(\bm x)\in V'

V の基底 \comment{widetilde}A=\langle \bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n \rangle

V' の基底 \comment{widetilde}B=\langle \bm b_1, \bm b_2,\dots,\bm b_m \rangle

を考えれば、 \bm x や \bm y の表現を定められ、

\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{\comment{widetilde}A}

\bm y=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_m\end{pmatrix}\bm y_{\comment{widetilde}B}

これらの関係は図のようになる。

写像の表現行列.png

\bm x_{\comment{widetilde}A}\mapsto \bm x 、 \bm x\mapsto \bm y 、 \bm y\mapsto \bm y_{\comment{widetilde}B} はそれぞれ線形写像なので、 それらの合成写像である \bm x_{\comment{widetilde}A}\mapsto \bm y_{\comment{widetilde}B} も線形写像となる。

すなわち、 m\times n 行列 T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A} を使って、

\bm y_{\comment{widetilde}B}=T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}\bm x_{\comment{widetilde}A}

と表せる。この行列 \bm y_{\comment{widetilde}B} を、線形写像 T の行列表現と呼ぶ。

$T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}$ の具体的な形 †

基底ベクトル \bm a_i の \comment{widetilde}A に対する表現 \bm a_{i\comment{widetilde}A} は、

&math(\bm a_i &=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm a_{i\comment{widetilde}A} );

より、

&math( \bm a_{i\comment{widetilde}A} =\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix} );

一方、 \bm a_i を T で移した T(\bm a_i) は V' のベクトルなので、その \comment{widetilde}B による表現 T(\bm a_i)_{\comment{widetilde}B} を考えることができて、 T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}=\begin{pmatrix}\bm t_1&\bm t_2&\dots&\bm t_n\end{pmatrix} と置けば、

T(\bm a_i)_{\comment{widetilde}B}=T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}\bm a_{i\comment{widetilde}A}=\bm t_i

すなわち、

&math(T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}= \begin{pmatrix}T(\bm a_1)_{\comment{widetilde}B}&T(\bm a_2)_{\comment{widetilde}B}&\dots&T(\bm a_n)_{\comment{widetilde}B}\end{pmatrix} );

線形写像の行列表現は、
元となる空間の基底ベクトルを移して、
先となる空間の基底で表現したものを列ベクトルとする。

基底の変換行列との関係 †

先にやった基底の変換行列 P_{\comment{widetilde}B\to\comment{widetilde}A} は、 上記の T を恒等変換 E に置き換えた形と等しい（ \bm x=\bm y ）。

すなわち、 P_{\comment{widetilde}B\to\comment{widetilde}A}=E_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}

行列表現の基底変換 †

\comment{widetilde}A から \comment{widetilde}A' あるいは \comment{widetilde}B から \comment{widetilde}B' といった基底の変換を考える。

&math( &\bm y_{\comment{widetilde}B}=T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}\bm x_{\comment{widetilde}A}\\ &\phantom{\bm y_{\comment{widetilde}B}}=T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A'}\bm x_{\comment{widetilde}A'}\\ &\bm x_{\comment{widetilde}A}=P_{\comment{widetilde}A\to \comment{widetilde}A'}\bm x_{\comment{widetilde}A'} より、\\ &T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A'}=T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}P_{\comment{widetilde}A\to \comment{widetilde}A'} );　　　 &math( &\bm y_{\comment{widetilde}B}=T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}\bm x_{\comment{widetilde}A}\\ &\bm y_{\comment{widetilde}B'}=T_{\comment{widetilde}B'\comment{widetilde}A}\bm x_{\comment{widetilde}A}\\ &\bm y_{\comment{widetilde}B}=P_{\comment{widetilde}B\to \comment{widetilde}B'}\bm y_{\comment{widetilde}B'} より、\\ &T_{\comment{widetilde}B'\comment{widetilde}A}=(P_{\comment{widetilde}B\to \comment{widetilde}B'})^{-1}T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A} );

両者を合わせると、

T_{\comment{widetilde}B'\comment{widetilde}A'}=(P_{\comment{widetilde}B\to \comment{widetilde}B'})^{-1}T_{\comment{widetilde}B\comment{widetilde}A}(P_{\comment{widetilde}A\to \comment{widetilde}A'})

特に、 T:V\to V すなわち「線形変換」であるときは、 V の基底を定めるだけで行列表現が求まる。 このとき T_{\comment{widetilde}A}=T_{\comment{widetilde}A\comment{widetilde}A} と書けば、

T_{\comment{widetilde}A'}=(P_{\comment{widetilde}A\to \comment{widetilde}A'})^{-1}T_{\comment{widetilde}A}(P_{\comment{widetilde}A\to \comment{widetilde}A'})

すなわち、 T_{\comment{widetilde}A} と T_{\comment{widetilde}A'} とは 線形代数I で学んだ 「相似」の関係にあることになる。

\bm y_{\comment{widetilde}A}=T_{\comment{widetilde}A}\bm x_{\comment{widetilde}A}

\bm y_{\comment{widetilde}A'}=T_{\comment{widetilde}A'}\bm x_{\comment{widetilde}A'}

\bm y_{\comment{widetilde}A}=P_{\comment{widetilde}A\to \comment{widetilde}A'}\bm y_{\comment{widetilde}A'}

\bm x_{\comment{widetilde}A'}=P_{\comment{widetilde}A'\to \comment{widetilde}A}\bm x_{\comment{widetilde}A}

と、

&math( \bm y_{\comment{widetilde}A'}&=T_{\comment{widetilde}A'}\bm x_{\comment{widetilde}A'}\\ &=\underbrace{(P_{\comment{widetilde}A\to \comment{widetilde}A'})^{-1}}_{P_{\comment{widetilde}A'\to \comment{widetilde}A}}\ \underbrace{T_{\comment{widetilde}A}\ \underbrace{(P_{\comment{widetilde}A\to \comment{widetilde}A'})\bm x_{\comment{widetilde}A'}}_{\bm x_{\comment{widetilde}A}}}_{\bm y_{\comment{widetilde}A}});

とを見比べて理解したい。

線形写像の階数と行列表現の階数 †

両者は一致するのだが、証明は時間があれば戻って行うこととして、 とりあえず省略。

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質問・コメント †




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