線形独立、基底及び次元のバックアップの現在との差分(No.3)

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* 目次 [#rfb40a80]
#contents
&katex();

* 線形結合・一次独立・従属 [#n644d790]

線形代数I で学んだ 線形結合・一次独立・従属の概念を一般の線形空間でも使う
復習： &math(
\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix}2\\2\\3\\4\end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix}1\\2\\3\\3\end{pmatrix}
); は一次独立か？

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); の線形結合：~
&math(\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i=c_1\bm v_1+c_2\bm v_2+\dots+c_m\bm v_m);
線形代数I で学んだ 線形結合・一次独立・従属の概念を一般の線形空間でも定義できる

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); が「一次独立である」とは、
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ の線形結合とは：
>$\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i=c_1\bm v_1+c_2\bm v_2+\dots+c_m\bm v_m$

>&math(\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i=c_1\bm v_1+c_2\bm v_2+\dots+c_m\bm v_m=\bm 0); から &math(c_1=c_2=\dots=c_m=0); を導けること
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ が「一次独立である」とは：

&math(c_1=c_2=\dots=c_m=0); 以外でも成り立つなら「一次従属である」という
>$\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i=\bm 0$ から $c_1=c_2=\dots=c_m=0$ を導けること

問：実数を係数とする２次以下の &math(x); の多項式の集合について考える~
&math(x^2+3x-2, -x^2+2x, 3x^2); は線形独立か？
$c_1=c_2=\dots=c_m=0$ 以外でも成り立つなら「一次従属である」という

答：&math(a(x^2+3x-2)+b(-x^2+2x)+c(3x^2)=0); とすると、
&math((a-b+3c)x^2+(3a+2b)x+(-2a)=0);
問：

ここに現れた等号は、２つの多項式を比較する等号であるから、
左辺と右辺とで、対応する次数にかかる係数がすべて等しくなければならない。
>実数を係数とする２次以下の $x$ の多項式からなる線形空間 $P^2[x]$ を考える~
>$x^2+3x-2,\ -x^2+2x,\ 3x^2$ は線形独立か？

すなわち、&math(a-b+3c=0,3a+2b=0,-2a=0); となり、
これを満たす &math(a,b,c); は &math(\{a,b,c\}=\{0,0,0\}); しか存在しない。
答：

したがって、線形独立である
>$a(x^2+3x-2)+b(-x^2+2x)+c(3x^2)=0$ とすると、
>$(a-b+3c)x^2+(3a+2b)x+(-2a)=0=0x^2+0x+0$
>
>ここに現れた等号は、「左辺の多項式と右辺の多項式が等しい」という意味であるから、
左辺と右辺とで、対応する次数にかかる係数がすべて等しくなければならない。
>
>すなわち、$a-b+3c=0,3a+2b=0,-2a=0$ となり、
これを満たす $a,b,c$ は $(a,b,c)=(0,0,0)$ しか存在しない。
>
>したがって、与えられた３つのベクトルは線形独立である

* 張る空間・生成元・部分空間 [#p7f650df]
演習：

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); の%%%張る空間%%%は、~
&math(W\equiv\set{\bm v=\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i| c_1,c_2,\dots,c_m\in K}); として定義され、~
&math(W=\big<\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\big>); と書く。
>$P^2[x]$ において次のベクトルは線形独立か？
>
>[1] $2x^2+1,\ 2x-1,\ x^2+x$  
>[2] $x^2+x+1,\ x-4,\ x^2+2x$ 
>[3] $x+1,\ x-1$ 

このような &math(W); は和、スカラー倍に対して閉じており、それ自身も線形空間となる。
この演習の答えは [[線形代数II/演習1]] にある。

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); を &math(W); の生成元という。
* 張る空間・生成元・部分空間 [#p7f650df]

一般に、&math(W\subset V); が線形空間となるとき、&math(W); は &math(V); の部分空間である、という。
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ の「張る空間」は次のように定義され、
>$W\equiv\set{\bm v=\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i| c_1,c_2,\dots,c_m\in K}$

多くの場合、~
-１つのベクトルで生成される空間は直線的である &math(W_1=\big<\bm a\big>);
-１つのベクトルで生成される空間は平面的である &math(W_2=\big<\bm a,\bm b\big>);
-１つのベクトルで生成される空間は空間的である &math(W_3=\big<\bm a,\bm b, \bm c\big>);
$W=\big[\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\big]$ と書く。(< > で括る流儀もある)

ただし、&math(\bm a,\bm b,\bm c); が一次従属である場合にはその限りではない！
これは 「$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m$ の一次結合で表せるベクトルの集合」 と同義である。

* 基底・次元 [#t268fa3f]
このような $W$ は和、スカラー倍に対して閉じており、それ自身も線形空間となる。~
すなわち $W$ は $V$ の部分空間を為す。

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); が &math(V); を張り、~
なおかつ一次独立であるとき、~
&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); は &math(V); の基底である、と言う。
>$\bm v_1 = \sum_{i=1}^m c_{1i}\bm v_i\in W$、$\bm v_2 = \sum_{i=1}^m c_{2i}\bm v_i\in W$ のとき、
>$k\bm v_1 = \sum_{i=1}^m (kc_{1i})\bm v_i\in W$、$(\bm v_1+\bm v_2) = \sum_{i=1}^m (c_{1i}+c_{2i})\bm v_i\in W$

基底を構成するベクトルの数を線形空間の次元と呼ぶ。
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in W\subset V$ を $W$ の「生成元」という。

ある空間 &math(V); について基底の取り方には任意性があるが、
構成するベクトルの数は一意に決まることを後に証明する。
例：

例：２次以下の &math(x); の多項式の集合を &math(V); とするとき、
&math(\bm b_1=x,\bm b_2= 3x^2+1,\bm b_3=2\in V); は &math(V); を張り、
また、一次独立であるから、&math(V); の基底となる~
すなわち、&math(V); は3次元である
$$
\begin{aligned}
W_1&=\big[\,(1,1,-1)\,\big]\hspace{3cm}\leftarrow\mathrm{(1,1,-1)により張られる空間}\\
&\equiv\big\{\,a(1,1,-1)\in\mathbb R^3\,|\,a\in\mathbb R\big\}
\hspace{4.3mm}\leftarrow\mathrm{その定義}\\
\end{aligned}
$$

* 列ベクトル表示（数ベクトル表現） [#b391d31c]
とするとき、$(2,2,-2),\,(-5,-5,5)\in W_1$ であるが、$(2,2,2)\notin W_1$

** 準備 [#rca6d364]
$$
W_1=\big[\,(1,1,-1)\,\big]=\big[\,(2,2,-2)\,\big]
$$

定理：
であることもすぐに分かるが、さらには

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_n\in V); を &math(V); の基底とすれば、
&math(\forall \bm x\in V); はこれらの一次結合として一意に表される。
$$
\begin{aligned}
W_1&=\big[\,(1,1,-1),(2,2,-2)\,\big]\\
&\equiv\big\{\,a(1,1,-1)+b(2,2,-2)\in\mathbb R^3\,|\,a,b\in\mathbb R\big\}
\end{aligned}
$$

証明：
となることにも注意せよ。一方、

&math(\bm x=\sum c_i\bm v_i=\sum c_i'\bm v_i); とすると、
$$
W_1\neq W_2=\big[\,(1,1,-1),(2,2,2)\,\big]
$$

&math(\sum (c_i-c_i')\bm v_i=\bm 0);
である。実際、$W_1\subset W_2$ であるが $W_2\not\subset W_1$ である。

基底の線形独立性から、
----

&math(c_1-c_1'=c_2-c_2'=\dots=c_n-c_n'=0);
多くの場合、~
-１つのベクトルにより張られる空間 $W_1=\big[\bm a\big]$ は直線的である~
　　　　←→ 直線の方程式 $\set{\bm p=s\bm a|s\in \mathbb R}$
-２つのベクトルにより張られる空間 $W_2=\big[\bm a,\bm b\big]$ は平面的である~
　　　　←→ 平面の方程式 $\set{\bm p=s\bm a+t\bm b|s,t\in \mathbb R}$ 
-３つのベクトルにより張られる空間 $W_3=\big[\bm a,\bm b, \bm c\big]$ は空間的である~
　　　　←→ 空間の方程式 $\set{\bm p=s\bm a+t\bm b+u\bm c|s,t,u\in \mathbb R}$ 

となる。
ただし %%%$\bm a,\bm b,\bm c$ が一次従属だと、その限りではない！%%%

** 数ベクトル空間との１対１対応 [#k774687f]
線形空間の次元を考えるには、空間を張るベクトルの数に加えて、
それらが一次独立であることが重要。

上記の線形結合を、ベクトルのかけ算表示を使って
* 4-2 基底・次元 [#t268fa3f]

&math(
\bm x=\big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\big)
\begin{pmatrix}
x_1\\ x_2\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix}
);
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ が $V$ の生成元で、%%%なおかつ一次独立である%%%とき、~
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ は $V$ の「基底」である、という。

の形に書けば、
基底を構成するベクトルの数を線形空間の「次元」と呼ぶ。

&math(\forall \bm x\in V); に対して、対応する &math(\bm x'=\begin{pmatrix}
x_1\\ x_2\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix} \in \mathbb R^n
);
が１つ決まる。
基底の例：
- $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\in \mathbb R^2$
- $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\in \mathbb R^2$
- $x^2+3x-2,\ -x^2+2x,\ 3x^2\in P^2[x]$

逆に、&math(\forall \bm x'\in \mathbb R^n); に対して、
&math(
\bm x=\big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\big)\bm x' \in V
); が１つ決まることから、
ある空間 $V$ について、基底の取り方には任意性があるが、
「次元」は一意に決まる。

線形空間 &math(V); の元と &math(\mathbb R^n); の元との間に１対１の対応が付くことになる。
このことは、

&math(\bm x'); を &math(\bm x); の列ベクトル表示という。
- $n$ 個のベクトルにより張られる空間から、$n$ を越える個数の線形独立なベクトルを取り出せない

上記の対応関係は ベクトル和 や スカラー倍 に対しても保存されることから、
任意の線形空間 &math(V); は、同じ次元を持つ数ベクトル空間 &math(\mathbb R^n); 
と強い類似性を持つことが分かる。
ことから導かれるが、この証明は省略する。 → [[(この証明)>線形代数II/線形独立、基底及び次元/次元の一意性]]

こういう時、&math(V); と &math(\mathbb R^n); は「同型である」、と言う。
*** 演習： [#y0a3eb13]

以下で同型を定義する。
(1) $V=\set{\bm x=(x,y,z)\in \mathbb R^3 | x+y+2z=0}$ は
$\mathbb R^3$ の部分空間となる。$V$ の基底を１つ定めよ。

* 写像 [#h358e130]
(2) 「複素数の集合 $\mathbb C$」を「実数 $\mathbb R$上の線形空間」と考えて、基底を１つ定めよ。

集合 &math(U); から集合  &math(U'); への写像とは、~
&math(U); の元それぞれに対して１つずつ、
&math(U'); の元を対応させる規則のことである
* 列ベクトル表示（数ベクトル表現） [#b391d31c]

「１つずつ」が重要
** 準備 [#rca6d364]

- 対応する元が１つも無いような &math(U); の元があるなら写像ではない
- 対応する元が２つ以上あれば写像ではない
- 異なる元 &math(x_1,x_2\in U); に対して、同じ &math(x'\in U'); 
が対応するのは問題ない
定理：

&math(U); の元を１つ与えれば、必ず１つだけ &math(U'); の元が決まるということ
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_n\in V$ を $V$ の基底とすれば、
$\forall \bm x\in V$ はこれらの一次結合として一意に表される。

&math(f); が &math(U); から &math(U'); への写像であることを、
証明：

&math(f: U\to U');
基底は $V$ を張るから、$\bm x$ を基底の一次結合として表せることは証明不要。

と書く。
その表し方が「一意に決まること」を証明する。

&math(x\in U); の時、&math(x'=f(\bm x)\in U'); である。
もし、

** 線形写像 [#ibeddaa7]
$$
\bm x=\sum x_i\bm v_i=\sum x_i'\bm v_i
$$

&math(V,V'); を線形空間として、
&math(f:V\to V'); が次の条件を満たすとき、&math(f); は「線形である」と言うのであった。
であれば、これを変形して、

- &math(f(a\bm x+b\bm y)=af(\bm x)+bf(\bm y));
$$
\sum (x_i-x_i')\bm v_i=\bm 0
$$

すなわち、写像がベクトル和やスカラー倍に対して透過的であると言うこと。
基底の線形独立性から、

あるいは、&math(T:V\to V'); として、
$$
x_1-x_1'=x_2-x_2'=\dots=x_n-x_n'=0
$$

- &math(T(\bm x+\bm y)=T\bm x+T\bm y);
- &math(T(c\bm x)=cT\bm x);
として一意性が示される。

のように括弧を省略して書くこともよく行われる。
** 数ベクトル空間との１対１対応 [#k774687f]

注）~
左辺の和やスカラー倍が &math(V); で定義された演算であるのに対して、~
右辺の和やスカラー倍は &math(V'); で定義された演算であることに注意せよ。~
（すなわち &math(V); と &math(V'); は同じスカラーの上に定義されている必要がある）
上記の線形結合を、行列のかけ算と同様の表示を使って

例：
&math(V=\{xの３次以下の多項式\});、&math(V'=\{xの２次以下の多項式\}); として、
&math(T:V\to V'); を
$$
\bm x=\Big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\Big)
\underbrace{\begin{pmatrix}
x_1\\ x_2\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix}}_{\bm x'}=\Big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\Big)\bm x'
$$

&math(T\bm x\equiv\frac{d}{dx} \bm x);
の形に書けば、

と定義すれば、これは線形写像になる。~
（関数線形空間に対して微分や積分を線形写像と考えるのはこれから非常に良く出てくる考え方）
$\forall \bm x\in V$ に対して、対応する $n$ 次元列ベクトル
$\bm x'=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} \in \mathbb R^n$
が１つ決まることになる。

*** 練習 [#j3e80a73]
逆に、$\forall \bm x'\in \mathbb R^n$ に対して、
$\bm x=\big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\big)\bm x' \in V$ が１つ決まるから、

問：&math(T); が線形写像であれば、&math(T(\bm 0)=\bm 0); となることを示せ。
線形空間 $V$ の元１つ１つと $\mathbb R^n$ の元１つ１つとの間に
１対１の対応が付くことになる。

答：&math(T(\bm 0)=T(0\bm 0)=0T(\bm 0)=\bm 0);
$\bm x'$ を、基底 $\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_n$ に対する 
$\bm x$ の「列ベクトル表示」という。~
(列ベクトル表示は基底の取り方に依存することに注意せよ)

** １対１写像（単写） [#f9291c06]
この対応関係は ベクトル和 や スカラー倍 に対しても保存されることから、
すべての $K$ 上の $n$ 次元線形空間 $V$ は、
同じ次元を持つ数ベクトル空間 $K^n$ と強い類似性を持つことが分かる。

&math(T(ax^2+bx+c)=(a,b,0)); も &math(V\rightarrow\mathbb R^3); の線形写像である、
が、&math(T(ax^2+bx+c)=T(ax^2+bx+c')=(a,b,0)); となる。
こういう時、$V$ と $K^n$ は「同型である」、と言う。

このように、一般の写像では異なるベクトルが同じ値に移される場合がある。
以下で同型を厳密に定義する。

&math(\bm x\ne \bm y); であれば必ず &math(T(\bm x)\ne T(\bm y)); であるとき、
&math(T); は１対１写像である、あるいは、単写である、と言う。
例：

&attachref(写像.png,,50%);
実数を係数とする２次以下の $x$ の多項式からなる線形空間

１対１という言葉の意味：１対ｎはそもそも写像にならない。ｎ対１になっていないことを示している。
$$
P^2[x]=\{ax^2+bx+c｜a,b,c\in \mathbb R\}
$$

** 上への写像（全写） [#u804c5ca]
に、基底 $\bm e_1=x^2-1,\bm e_2=x+1,\bm e_3=1$ を取る。

任意の &math(v'\in V'); に対して、そこに移ってくる &math(V); の元を見つけられる時、
上への写像、あるいは、全写であるという。
任意の $\bm x=ax^2+bx+c\in P^2[x]$ に対して、

例えば、&math(T(ax^2+bx+c)=(a,b,c)); は &math(V\rightarrow\mathbb R^3); への全写であるが、~
&math(T(ax^2+bx+c)=(0,a,b,c)); は &math(V\rightarrow\mathbb R^4); への全写ではない。
$\bm x'=\begin{pmatrix}a\\b\\a-b+c\end{pmatrix}$ と取れば、
$\bm x=\begin{pmatrix}\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3\end{pmatrix}\bm x'$ が成り立ち、

「上へ」というのは、&math(T); により &math(V); 全体を移したときにできる「像」
(しばしば &math(T(V)=\set{T(\bm v)\in V'|\bm v\in V}); と書かれる) が、
&math(V'); の真上に、全体を覆い尽くすように被さるため。
基底 $\{\bm e_i\}$ に対する $\bm x$ の数ベクトル表現 $\bm x'\in \mathbb R^3$ がただ一つ求まることになる。

&attachref(上への写像.png,,50%);
逆に、任意の $\bm x'=\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}\in \mathbb R^3$ に対して、

** 上への１対１写像（全単写） [#x5e3aeb2]
$$
\bm x=ax^2+bx+(-a+b+c)\in P^2[x]
$$

単写かつ全写であることを言う。
が求まる。

このときに限り、「逆写像 &math(T^{-1});」が定義できる。
$\bm x=ax^2+bx+c\in P^2[x]$, $\bm y=a'x^2+b'x+c'\in P^2[x]$ の数ベクトル表現は

- １対１でないと、ある &math(v'\in V'); に複数の &math(v\in V); が対応してしまう
- 上への写像でないと、ある &math(v'\in V'); に対応する &math(v\in V); が存在しない場合がある
$\bm x'=\begin{pmatrix}a\\b\\a-b+c\end{pmatrix}$,
$\bm y'=\begin{pmatrix}a'\\b'\\a'-b'+c'\end{pmatrix}$

*** 練習 [#cdc16e96]
なので、

問：逆写像 &math(T^{-1}); は線形写像であることを示せ
- $k\bm x$ のベクトル表現が $k\bm x'$ となること、
- $\bm x+\bm y$ のベクトル表現が $\bm x'+\bm y'$ となること、

答：
&math(\bm X=T(\bm x), \bm Y=T(\bm Y)); とすると、
&math(\bm x=T^{-1}(\bm X),\bm y=T^{-1}(\bm Y));
を、容易に確認できる。

一方、
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&math(T(\bm x+\bm y)=T(\bm x)+T(\bm y)=X+Y); 
* 質問・コメント [#jf7db8ee]

の両辺に &math(T^{-1}); を作用させると
#article_kcaptcha

&math(\bm x+\bm y=T^{-1}(X)+T^{-1}(Y)=T^{-1}(X+Y)); 

また、

&math(T(k\bm x)=kT(\bm x)=kX); 

の両辺に &math(T^{-1}); を作用させると

&math(k\bm x=kT^{-1}(X)=T^{-1}(kX)); 

となって、 &math(T^{-1}); が線形であることが示された。

** 同型 [#j11499b9]

&math(V); と &math(V'); との間に上への１対１写像 &math(T); が存在する時、
&math(V); と &math(V'); は同型であるといい、~
&math(V\simeq V'); と書く。

またこのとき、&math(T); を同型写像と呼ぶ。

これは上で述べた２つの写像が「似ている」ことを数学的に表わした物。~
同型写像によって、２つの空間はすべて１対１に対応することになる。

&math(T(ax^2+bx+c)=(a,c,b)); とか、~
&math(T(ax^2+bx+c)=(a+b,a-b,c)); とかも同型写像になる。
同型である２つの線形空間の間の同型写像は一意には決まらないことに注意が必要。

線形空間の「同型」は同値関係の公理を満たす。すなわち、

+ &math(V\simeq V);　　　：　反射律
+ &math(V\simeq V'\to V'\simeq V);　：　対称律
+ &math(V\simeq V' \wedge V'\simeq V''\to V\simeq V''); ：　推移律

同型の線形空間は構造が似ているため、一方を調べればもう一方のことが分かる。~
特に、&math(\mathbb R^n); への同型が分かればほぼすべて分かったも同然！となる。

** 例 [#f06ed7b5]

&math(V\to V'); の同型写像を &math(T(\bm x)); とする。

&math(\bm a, \bm b, \bm c\in V); が線形独立であれば、~
&math(T(\bm a), T(\bm b), T(\bm c\)in V'); も線形独立である。~

対偶を証明する。

もし &math(T(\bm a), T(\bm b), T(\bm c\)in V'); が線形従属であれば、
すべてがゼロではない３つのスカラー &math(\alpha,\beta,\gamma); に対して

&math(\alpha T(\bm a)+\beta T(\bm b)+\gamma T(\bm c\)=\bm 0);

が成立する。&math(T); は線形なので、

&math((左辺)=T(\alpha \bm a+\beta \bm b+\gamma bm c\)=\bm 0);

ここで、


&math(\therefore T^{-1}(\bm 0)=\bm 0);



* 4-2 線形独立、基底及び次元 [#mceb0c53]

あるベクトル &math(\bm v\in V); をベクトル &math(a_1,a_2,\dots,a_l); 
の一次結合で表せる場合と、表せない場合がある。
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