線形代数II/関数空間 のバックアップソース(No.4)
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[[線形代数Ⅱ]] #contents * 関数の線形空間 = 関数空間 [#ebae6101] 閉区間 &math([a,b]); ただし &math(a,b\in \mathbb R); で定義された任意の複素関数を要素とする集合 &math(U); は、 通常の和と定数倍に対して線形空間を為す。 すなわち、&math(f,g\in U); のとき、 &math(u=f+g); ただし &math(u(x)=f(x)+g(x)); &math(v=kf); ただし &math(v(x)=kf(x)); とすれば、&math(u,v\in U); であり、&math(U); はこれらの演算に対して閉じている。 以下、数ベクトル空間と対比させながら関数空間について学んでいこう。 * ベクトルの値 [#m25c4a20] #multicolumns &math(\bm a={}^t\!(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)\in\mathbb R^n); のとき、 添字 &math(k); に対して &math(a_k); をプロットすれば、 「ベクトルのグラフ」を表示できる。 &attachref(vector1.png,,40%); &math(k); から &math(a_k); への対応関係を1つ決めると、 それが1つのベクトルを決めることに相当する。 #multicolumns &math(u(x)\in U); のとき、 変数 &math(x); に対して &math(u(x)); をプロットすれば、 「関数のグラフ」を表示できる。 &attachref(function.png,,40%); &math(x); から &math(u(x)); への対応関係を1つ決めると、 それが1つの関数を決めることに相当する。 #multicolumns(end) ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、 上記グラフはあくまで概念的な物である。 - ベクトルの和はグラフの重ね合わせに - ベクトルの定数倍はグラフの上下方向の引き延ばしに それぞれ対応する。 * 内積 [#a0503298] #multicolumns 標準内積: &math((\bm a,\bm b)\equiv\bm a^\dagger\bm b =\sum_{k=1}^n \overline{a_k}b_k); 少し一般化して、 &math((\bm a,\bm b)&\equiv\sum_{k=1}^n w_k\overline{a_k}b_k); としても内積の公理を満たす。ただし &math(w_k>0); はある決まった正の数列で、 個々の成分に付けられた重みに相当する。 #multicolumns 標準内積: &math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,\overline{u(x)}v(x)); 少し一般化して、 &math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)); としても良い。ただし、&math(\rho(x)>0); は「重み関数」と呼ばれる。 #multicolumns(end) * 正規・直交 [#e082a8dc] #multicolumns 正規性: &math((\bm x,\bm x)=\|x\|^2=1); 直交: &math((\bm x,\bm y)=0); ~ 正規直交: ベクトルの組 &math(\set{\bm e_k}); に対して &math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij}); #multicolumns 正規性: &math(\int_a^bdx\,\rho(x)\|u(x)\|^2=1); 直交: &math(\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)=0); 正規直交: 関数の組 &math(\set{\phi_k(x)}); に対して &math(\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_i(x)}\phi_j(x)=\delta_{ij}); #multicolumns(end) * 完全性・成分表示 [#u2490b82] #multicolumns あるベクトルの組 &math(\set{\bm b_k}); が線形空間 &math(V); を張るとは、 任意の &math(\bm x\in V); を次の形に表せること。 &math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm b_k); #multicolumns ある関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); が完全であるとは、 任意の関数 &math(f(x)); を次の形に表せること。 &math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\phi_k(x)); 実際には &math(k); の &math(\infty); までの和を取るわけには行かないため、 この表示は &math(N\to \infty); のときに &math(\int_a^bdx\,\Big\|f(x)-\sum_{k=1}^N f_k\phi_k(x)\Big\|^2\to 0); となることを意味する。 #multicolumns(end)
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