線形代数II/関数空間 のバックアップ差分(No.5)

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[[線形代数Ⅱ]]

#contents

* 関数の線形空間 = 関数空間 [#ebae6101]

閉区間 &math([a,b]); ただし &math(a,b\in \mathbb R); 
で定義された任意の複素関数を要素とする集合 &math(U); は、
通常の和と定数倍に対して線形空間を為す。

すなわち、&math(f,g\in U); のとき、

&math(u=f+g);  ただし &math(u(x)=f(x)+g(x));

&math(v=kf);  ただし &math(v(x)=kf(x));

とすれば、&math(u,v\in U); であり、&math(U); はこれらの演算に対して閉じている。

以下、数ベクトル空間と対比させながら関数空間について学んでいこう。

* ベクトルの値 [#m25c4a20]

#multicolumns

&math(\bm a={}^t\!(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)\in\mathbb R^n); のとき、

添字 &math(k); に対して &math(a_k); をプロットすれば、
「ベクトルのグラフ」を表示できる。

&attachref(vector1.png,,40%);

&math(k); から &math(a_k); への対応関係を1つ決めると、
それが1つのベクトルを決めることに相当する。

#multicolumns

&math(u(x)\in U); のとき、

変数 &math(x); に対して &math(u(x)); をプロットすれば、
「関数のグラフ」を表示できる。

&attachref(function.png,,40%);

&math(x); から &math(u(x)); への対応関係を1つ決めると、
それが1つの関数を決めることに相当する。

#multicolumns(end)

ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、
上記グラフはあくまで概念的な物である。

- ベクトルの和はグラフの重ね合わせに
- ベクトルの定数倍はグラフの上下方向の引き延ばしに

それぞれ対応する。

* 内積 [#a0503298]

#multicolumns

標準内積:

&math((\bm a,\bm b)\equiv\bm a^\dagger\bm b
=\sum_{k=1}^n \overline{a_k}b_k);

少し一般化して、

&math((\bm a,\bm b)&\equiv\sum_{k=1}^n w_k\overline{a_k}b_k);

としても内積の公理を満たす。ただし &math(w_k>0); はある決まった正の数列で、
個々の成分に付けられた重みに相当する。

#multicolumns

標準内積:

&math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,\overline{u(x)}v(x));

少し一般化して、

&math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x));

としても良い。ただし、&math(\rho(x)>0); は「重み関数」と呼ばれる。

#multicolumns(end)

* 正規・直交 [#e082a8dc]

#multicolumns

正規性:

&math((\bm x,\bm x)=\|x\|^2=1);

直交:

&math((\bm x,\bm y)=0);

~

正規直交:

ベクトルの組 &math(\set{\bm e_k}); に対して

&math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij});

#multicolumns

正規性:

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)\|u(x)\|^2=1);

直交:

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)=0);

正規直交:

関数の組 &math(\set{\phi_k(x)}); に対して

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_i(x)}\phi_j(x)=\delta_{ij});

#multicolumns(end)

* 完全性・成分表示 [#u2490b82]

#multicolumns
あるベクトルの組 &math(\set{\bm b_k}); が線形空間 &math(V); を張るとは、
任意の &math(\bm x\in V); を次の形に表せること。

&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm b_k);

#multicolumns

ある関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); が完全であるとは、
任意の関数 &math(f(x)); を次の形に表せること。

&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\phi_k(x));

実際には &math(k); の &math(\infty); までの和を取るわけには行かないため、
この表示は &math(N\to \infty); のときに

&math(\int_a^bdx\,\Big\|f(x)-\sum_{k=1}^N f_k\phi_k(x)\Big\|^2\to 0); 

となることを意味する。

#multicolumns(end)

#multicolumns
正規直交基底 &math(\set{\bm e_k}); により 
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); と分解するとき、
その &math(\bm e_k); 成分を

&math(x_k=(\bm e_k,\bm x));

として求められる。
#multicolumns
正規直交関数形 &math(\set{\phi_k(x)}); により 
&math(f(x)=\sum_{k=1}^n f_k\phi_k(x)); と分解するとき、
その &math(\phi_k(x)); の係数を

&math(f_k=\int_a^bdx\,\overline{\phi_k(x)}f(x));

として求められる。
#multicolumns(end)


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