計測入門/フーリエ変換 のバックアップ(No.1)

周期を持たない信号を正弦波の重ね合わせで表す †

フーリエ級数展開では $[-T/2, T/2]$ で定義された $f(-T/2)=f(T/2)$ を満たす周期関数 $f(t)$ を指数関数 $e^{i2n\pi t/T}$ の重ね合わせで表す際に、

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n\frac 1{\sqrt{T}}e^{i2n\pi t/T} $$

係数 $F_n$ を

$$ F_n=\int_{-T/2}^{T/2}\frac 1{\sqrt T}e^{-i2\pi n t/T}f(t)\,dt $$

として求められることを見た。

本項では周期を持たない関数 $f(t)$ を指数関数の重ね合わせで表したい。

周期が無限大だと思えばいい †

$T\to \infty$ とすれば $(-\infty, \infty)$ で定義された関数に話を拡張できるはず。

ただしこのとき $\Delta\omega=2\pi/T\to 0$ となるから、 角振動数は $n$ で数えられるような離散値ではなく、 連続値を取ることになり、総和を取るには $\sum$ ではなく $\int d\omega$ を使うことになる。

結論を先に書けば、$(-\infty, \infty)$ で定義された、我々が考えるようなほぼどんな関数 $f(t)$ についても、$f(t)$ は

$$ f(t) = \frac{1}{\sqrt 2}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t} d\omega $$

のように指数関数 $e^{i\omega t}$ で展開することができ、その際の展開係数 $F(\omega)$ は、

$$ F(\omega)=\frac{1}{\sqrt 2}\int_{-T/2}^{T/2}e^{-i\omega t}f(t)\,dt $$

として求められる。

$f(t)$ から $F(\omega)$ を求める計算をフーリエ変換と呼び、
$F(\omega)$ から $f(t)$ を合成する計算を逆フーリエ変換と呼ぶ。

導出する †

フーリエ級数展開において $\exp(i2\pi n t/T)=\exp(i\omega x)$ と書けば、$\omega=n\cdot 2\pi/T$ であるから、 角周波数は $\Delta \omega=2\pi/T$ の整数倍に離散化している。

$T\to\infty$ とすれば $\Delta \omega\to 0$ となって $\omega$ は連続値を取れるようになる。