計測入門/フーリエ級数展開 のバックアップ差分(No.1)

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* 周期 $T$ の任意の周期関数を 周期 $T/n$ の正弦波の重ね合わせで表す [#m91a5471]

$-T/2\le t\le T/2$ の範囲で定義された関数 $f(t)$ が
$f(-T/2)=f(T/2)$ なる「周期境界条件」を満たすとき、
$f(t)$　を

$$\varphi_n(t)=\frac 1{\sqrt{T}}e^{i2n\pi t/T}$$

で展開して表したい。

$$
f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n\varphi_n(t)
$$

ただし、$n=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$ は任意の整数である。

* 正規直交性 [#cd4d0c34]

上記の $\{\varphi_n(t)\}$ は次の著しい性質を持っている。

$$
\begin{aligned}
\int_{-T/2}^{T/2}\varphi_n^*(t)\varphi_m(t)\,dt
&=\frac{1}{\,T\,}\int_{-T/2}^{T/2}e^{i2\pi(m-n)t/T}\,dt\\
&=\begin{cases}
\frac{1}{\,T\,}\int_{-T/2}^{T/2}\,dt&(n=m)\\
\frac{1}{i2\pi(m-n)}[e^{i\pi(m-n)}-e^{-i\pi(m-n)}]&(n\ne m)
\end{cases}\\
&=\begin{cases}
\frac{1}{\,T\,}T&(n=m)\\
\frac{1}{i2\pi(m-n)}[-1-(-1)]&(n\ne m)
\end{cases}\\
&=\begin{cases}
1&(n=m)\\
0&(n\ne m)
\end{cases}\\
&=\delta_{nm}
\end{aligned}
$$

ここで、$\delta_{nm}$ はクロネッカーのデルタと呼ばれ、

$$
\delta_{nm}=\begin{cases}
\ 1\hspace{5mm}&(n=m)\\
\ 0&(n\ne m)
\end{cases}
$$

のように定義される。

つまり、上記の積分は $n=m$ のときに $1$ で、$n\ne m$ のときに $0$ なる。

そこで、$\{\varphi_n(t)\}$ は正規直交系をなす、と言う。

この意味は後でもうちょっと詳しく書く。

* 係数を求めるには $exp(-i2\pi n t/T)$ を掛けて積分すればよい [#o1e94ef0]

上記の性質を使うと、

$$
\begin{aligned}
\int_{-T/2}^{T/2}\varphi_n^*(t)f(t)\,dt
&=\sum_{m=-\infty}^\infty F_m\int_{-T/2}^{T/2}\varphi_n^*(t)\varphi_m(t)\,dt\\
&=\sum_{m=-\infty}^\infty F_m\delta_{nm}\\
&=F_n\\
\end{aligned}
$$

のように、$f(t)$ に左から $\varphi_m^*(t)$ を掛けて１周期にわたって積分することで係数 $F_n$ を求められることが分かる。

* 完全性 [#vd885a4c]

上記の議論は、もしも 

$$
f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n\varphi_n(t)
$$

のように展開できると「仮定したなら」、その係数 $F_n$ は

$$
F_n=\int_{-T/2}^{T/2}\varphi_n^*(t)f(t)\,dt
$$

を満たさなければならない、と言っているにすぎず、
どんな周期関数でも必ず上記の形で展開できることを保証しているわけではない。

実際に、どんな周期関数でも必ず上記の形で展開できることを以下で確かめよう。
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