量子力学/角運動量の合成 のバックアップ(No.1)

角運動量の合成 †

$\hat {\bm J}=\hat {\bm J}_1+\hat {\bm J}_2$ とし、$\hat {\bm J}_1^2,\hat J_{1z},\hat {\bm J}_2^2,\hat J_{2z}$ の同時固有関数を $|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle$ すると、

$\hat J_z=\hat J_{1z}+\hat J_{2z}$ より、

$$ \hat J_z\,|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle= (M_1+M_2)\,|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle $$

のように、$|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle$ はそのまま $\hat J_z$ の固有関数である。

一方、

$$ \begin{aligned} \hat {\bm J^2}&=(\hat {\bm J}_1+\hat {\bm J}_2)^2\\ &=\hat {\bm J}_1^2+\hat {\bm J}_2^2+ 2\big[(\hat J_{1+}\hat J_{1-}+\hat J_{1-}\hat J_{1+})/2+\hat J_{1z}^2\big] \big[(\hat J_{2+}\hat J_{2-}+\hat J_{2-}\hat J_{2+})/2+\hat J_{2z}^2\big] \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \hat {\bm J^2}\,|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle &=\big[\hbar^2J_1(J_1+1)+\hbar^2J_1(J_1+1)\big]+ 2\big[(\hat J_{1+}\hat J_{1-}+\hat J_{1-}\hat J_{1+})/2+\hat J_{1z}^2\big] \big[(\hat J_{2+}\hat J_{2-}+\hat J_{2-}\hat J_{2+})/2+\hat J_{2z}^2\big] \end{aligned} $$