量子力学/角運動量の合成 のバックアップの現在との差分(No.1)

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[[量子力学/角運動量の固有値]]

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* 角運動量の合成 [#z929f566]

$\hat {\bm J}=\hat {\bm J}_1+\hat {\bm J}_2$ とし、$\hat {\bm J}_1^2,\hat J_{1z},\hat {\bm J}_2^2,\hat J_{2z}$ の同時固有関数を $|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle$ すると、
２つの角運動量 $\hat {\bm J}_1+\hat {\bm J}_2$ の合成 
$\hat {\bm J}=\hat {\bm J}_1+\hat {\bm J}_2$ を考える。

$\hat {\bm J}_1^2,\hat J_{1z},\hat {\bm J}_2^2,\hat J_{2z}$ の同時固有関数 
$|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle$ を用いて、$\hat {\bm J}^2, \hat J_z$ 
の同時固有関数を作りたい。

* $\hat J_z$ について [#qbe76ff2]

$\hat J_z=\hat J_{1z}+\hat J_{2z}$ より、

$$
\hat J_z\,|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle=
(M_1+M_2)\,|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle
$$

のように、$|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle$ はそのまま $\hat J_z$ の固有関数である。
であるから、$|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle$ はそのまま $\hat J_z$ の固有関数となる。

一方、

$$
\begin{aligned}
\hat {\bm J^2}&=(\hat {\bm J}_1+\hat {\bm J}_2)^2\\
&=\hat {\bm J}_1^2+\hat {\bm J}_2^2+
2\big[(\hat J_{1+}\hat J_{1-}+\hat J_{1-}\hat J_{1+})/2+\hat J_{1z}^2\big]
\big[(\hat J_{2+}\hat J_{2-}+\hat J_{2-}\hat J_{2+})/2+\hat J_{2z}^2\big]
\end{aligned}
$$

より、

$$
\begin{aligned}
\hat {\bm J^2}\,|J_1,M_1,J_2,M_2\rangle
&=\big[\hbar^2J_1(J_1+1)+\hbar^2J_1(J_1+1)\big]+
2\big[(\hat J_{1+}\hat J_{1-}+\hat J_{1-}\hat J_{1+})/2+\hat J_{1z}^2\big]
\big[(\hat J_{2+}\hat J_{2-}+\hat J_{2-}\hat J_{2+})/2+\hat J_{2z}^2\big]
\end{aligned}
$$
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