量子力学/角運動量の固有値 のバックアップ(No.1)

角運動量演算子の交換関係 †

量子力学Ⅰ/物理量の固有関数 で見たように、角運動量演算子 $\hat {\bm l}=(\hat l_x,\hat l_y,\hat l_z)$ は交換関係

$$ \begin{cases} \hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x=i\hbar\hat l_z\\ \hat l_y\hat l_z-\hat l_z\hat l_y=i\hbar\hat l_x\\ \hat l_z\hat l_x-\hat l_x\hat l_z=i\hbar\hat l_y\\ \end{cases} $$

を満たすが、

スピン演算子 $\hat {\bm s}=(\hat s_x,\hat s_y,\hat s_z)$ や、 ２つの角運動量 $\hat{\bm j}_1,\hat{\bm j}_2$ の 合成角運動量 $\hat {\bm J}=\hat{\bm j}_1+\hat{\bm j}_2$ も同様の交換関係、

$$ \begin{cases} \hat J_x\hat J_y-\hat J_y\hat J_x=i\hbar\hat J_z\\ \hat J_y\hat J_z-\hat J_z\hat J_y=i\hbar\hat J_x\\ \hat J_z\hat J_x-\hat J_x\hat J_z=i\hbar\hat J_y\\ \end{cases} $$

を満たす。

この交換関係のみから、$\hat{\bm J}^2$ および $\hat J_z$ の固有値に関する以下の関係を導ける。