量子力学/角運動量の固有値 のバックアップ差分(No.1)

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[[量子力学Ⅰ/物理量の固有関数]]
&katex();

* 角運動量演算子の交換関係 [#p6c640ca]

[[量子力学Ⅰ/物理量の固有関数>@量子力学Ⅰ/物理量の固有関数#b69ff060]] 
で見たように、角運動量演算子 $\hat {\bm l}=(\hat l_x,\hat l_y,\hat l_z)$
は交換関係

$$
\begin{cases}
\hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x=i\hbar\hat l_z\\
\hat l_y\hat l_z-\hat l_z\hat l_y=i\hbar\hat l_x\\
\hat l_z\hat l_x-\hat l_x\hat l_z=i\hbar\hat l_y\\
\end{cases}
$$

を満たすが、

スピン演算子 $\hat {\bm s}=(\hat s_x,\hat s_y,\hat s_z)$ や、
2つの角運動量 $\hat{\bm j}_1,\hat{\bm j}_2$ の
合成角運動量 $\hat {\bm J}=\hat{\bm j}_1+\hat{\bm j}_2$ 
も同様の交換関係、

$$
\begin{cases}
\hat J_x\hat J_y-\hat J_y\hat J_x=i\hbar\hat J_z\\
\hat J_y\hat J_z-\hat J_z\hat J_y=i\hbar\hat J_x\\
\hat J_z\hat J_x-\hat J_x\hat J_z=i\hbar\hat J_y\\
\end{cases}
$$

を満たす。

この交換関係のみから、$\hat{\bm J}^2$ および $\hat J_z$ 
の固有値に関する以下の関係を導ける。


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