電磁場中のシュレーディンガー方程式とゲージ変換 のバックアップ(No.1)

電磁場中のシュレーディンガー方程式 †

電磁場中のハミルトニアンはベクトルポテンシャル 、スカラーポテンシャル を用いて次のように表せる。参考：電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#k13bd197

　&math( H_\mathrm{em}=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}\big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)\big)^2+q\varphi(\mathbf x_n,t)\bigg] );

すると電磁場中でのシュレーディンガー方程式は次のようになる。

　&math( i\hbar\partial_t\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t)= H_\mathrm{em}\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t) );

ゲージ変換 †

静電ポテンシャルをゲージ変換しても物理的には同じ状態を表す。
参考：電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#fde7eaa7

　&math( \mathbf A'=\mathbf A+\frac{\hbar}{q}\mathbf \nabla f );

　&math( \varphi'=\varphi-\frac{\hbar}{q}\partial_t f );

ゲージ変換後のハミルトニアンとその解 †

　&math( \begin{aligned} H_\mathrm{em}' &=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A'(\mathbf x_n,t))^2+q\varphi'(\mathbf x_n,t)\bigg]\\ &=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t))^2+q\varphi(\mathbf x_n,t)-\hbar\partial_t f(\mathbf x_n,t)\bigg]\\ \end{aligned} );

よく知られるように、ゲージ変換によりハミルトニアンは変化するが、波動関数は位相のみの変化にとどまる。位相の部分を と置こう。

　&math( \begin{aligned} \Psi'(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t) &= e^{i\sum_n f(\mathbf x_n,t)} \Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t)\\ &= U(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t) \Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_N,t)\\ \end{aligned} );

位相だけが異なるため、

　

となって、波動関数の空間分布はゲージ変換前の物と変わらないことになる。

波動関数の変換が「一次のユニタリー変換」となることことを指して、この変換は 群をなす、と言う。（ なら 次のユニタリー変換、 なら 次の固有値１のユニタリー変換）

電磁気学が 変換に対して不変であることを指して、電磁気学は -ゲージ理論である、という。

解になっていることを確認する †

がゲージ変換後のシュレーディンガー方程式を満たすことを確かめよう。

　&math( \partial_t U=\Big[\partial_t\sum_n if(\mathbf x_n,t)\Big]U );

　&math( \mathbf\nabla_n U=\Big[i\mathbf\nabla_n f(\mathbf x_n,t)\Big]U );

より、

　&math( \begin{aligned} i\hbar\partial_t\Psi'&=i\hbar\partial_t\big(U\Psi\big)\\ &=\Big(-\sum_n \hbar\partial_tf(\mathbf x_n,t)\Big)U\Psi+Ui\hbar\partial_t\Psi \end{aligned} );

　&math( \begin{aligned} &\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)\Psi'\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)U\Psi\\ &=\Big(\hbar\mathbf\nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)U\Psi+ U\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)\Psi\\ &=U\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)\Big)\Psi\\ \end{aligned} );

したがって、

　&math( \begin{aligned} &\Big[\sum_n\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)-\hbar\mathbf \nabla f(\mathbf x_n,t)\Big)^2\Big]\Psi'\\ &=U\Big[\sum_n\Big(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t)\Big)\Big]^2\Psi\\ \end{aligned} );

ゲージ変換後のシュレーディンガー方程式は、

　&math( i\hbar\partial_t\Psi'=H'\Psi' );

　&math( \begin{aligned} &\Big(-\sum_n \hbar\partial_tf(\mathbf x_n,t)\Big)U\Psi

1. Ui\hbar\partial_t\Psi\\ &=U\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t))^2+q\varphi(\mathbf x_n,t)-\hbar\partial_t f(\mathbf x_n,t)\bigg]\Psi\\ \end{aligned} );

　&math( \begin{aligned} &Ui\hbar\partial_t\Psi =U\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\mathbf \nabla_n-q\mathbf A(\mathbf x_n,t))^2+q\varphi(\mathbf x_n,t)\bigg]\Psi\\ \end{aligned} );

両辺を で割れば、

　&math( i\hbar\partial_t\Psi=H_\mathrm{em}\Psi );

となり、ゲージ変換前のシュレーディンガー方程式と同値であることが分かる。

すなわち、 がゲージ変換前のシュレーディンガー方程式の解であれば、 はゲージ変換後のシュレーディンガー方程式の解となる。

反対称性も問題ない †

電子が２個の時、 がフェルミオンの反対称性を満たす解であったとする。

&math( \Psi(\mathbf x_2,\mathbf x_1,t)=-\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,t) );

ゲージ変換後の解は、

&math( \begin{aligned} \Psi'(\mathbf x_2,\mathbf x_1,t)&=e^{if(\mathbf x_1,t)+if(\mathbf x_2,t)}\Psi(\mathbf x_2,\mathbf x_1,t)\\ &=-e^{if(\mathbf x_1,t)+if(\mathbf x_2,t)}\Psi(\mathbf x_1,\mathbf x_2,t) =-\Psi'(\mathbf x_1,\mathbf x_2,t) \end{aligned} );

このように、位相部分の は任意の粒子の入れ替えに対して対称な関数となるため、全体としての対称性・反対称性がゲージ変換によって失われることはない。

エネルギー期待値 †

以下の通り、ゲージ変換でエネルギー期待値が変わるように見える。

&math( \begin{aligned} \langle \Psi'|H'|\Psi'\rangle&= \langle \Psi|U^\dagger H'U|\Psi\rangle\\ &=\langle \Psi|U^\dagger U\Big[H-\hbar\sum_n\partial_t f(\mathbf x_n,t)\Big]|\Psi\rangle\\ &=\langle \Psi| H|\Psi\rangle- \hbar\langle \Psi|\partial_t \sum_nf(\mathbf x_n,t)|\Psi\rangle\\ \end{aligned} );

系全体のハミルトニアンはここに電磁場のエネルギーが加わるのだが、そちらはゲージ変換で変化しないのでここでは無視した。

で、なぜ の期待値が変化してしまうかというと、 「 は時間発展を記述する演算子ではあるがそれ自体は系のエネルギーという物理量ではない」 ということらしい。→ http://kurasawa.c.ooco.jp/qm_a.pdf

じゃあ何がエネルギーなのかというと、第２項 を除いた部分なはず。この項はゲージが時間に依存しないときにはゼロとなるため、 の値は「時間に依らないゲージを取った時の値」はエネルギーの期待値となるが、「時間に依存するゲージを取ったときの値」はエネルギーの期待値にはならないことになる。

なぜか？

もともと、「系のエネルギー」は で表され、分かりやすく言えば「位相の回転速度」 に、 を掛けて となるのであった。

ゲージ変換による位相因子 が時間と共に変化する場合、その分の位相の時間的変化が に重なってしまうので、 がそのままではエネルギーにはならなくなる。

この「位相因子の時間変化」が現れたのが上記第２項 ということになる。

ゲージが時間と共に変化するとき、 はエネルギーではなく、物理量ですらないというのは覚えておくべきだ。