一次元の散乱現象/メモ のバックアップ(No.3)

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量子力学Ⅰ/一次元の散乱現象

解答：ポテンシャルの異なる領域へ入射する平面波 †

(1)

　 \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x)

(2)

x<0 では V(x)=0 より、

　 \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}\right)^2e^{\pm ikx}=\varepsilon e^{\pm ikx}

(3)

0\ge x では V(x)=V_0 より、

　 \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}k'^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m(\varepsilon-V_0)}{\hbar^2}}\right)^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\varepsilon e^{\pm ik'x}

(4)

　 \varphi_I(0)+\varphi_R(0)=\varphi_T(0)

　 \frac{d \varphi_I}{dx}(0)+\frac{d\varphi_R}{dx}(0)=\frac{d\varphi_T}{dx}(0)

(5)

1+R=T , ik-ikR=ik'T より、

　 k(1-R)=k'(1+R)

　 R=\frac{k-k'}{k+k'}, T=\frac{2k}{k+k'}

(6)

　&math((左辺)&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k'\frac{4k^2}{(k+k')^2}\\ &=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k\frac{4kk'}{(k+k')^2}\\ &=k\frac{k^2+2kk'+k'^2}{(k+k')^2}\\ &=k);

(7)

k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}=(1/2)\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k/2 より、 R=1/3,T=4/3

　 kR^2+k'T^2=\frac{1}{3^2}k+\frac{4^2}{3^2}\frac{k}{2}=\frac{1+8}{9}k=k

(8)

V_0<0 のとき、 k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}>\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k より、 R=\frac{k-k'}{k+k'}<0 であり、

　 \varphi_I(0)=1>0

に対して、

　 \varphi_R(0)=R<0

となり、両者の位相は \pi 異なる。

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