一次元の散乱現象/メモ のバックアップソース(No.3)

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[[量子力学Ⅰ/一次元の散乱現象]]

* 解答:ポテンシャルの異なる領域へ入射する平面波 [#s9f24ac4]

(1)  

 &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x));

(2)

&math(x<0); では &math(V(x)=0); より、

 &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}\right)^2e^{\pm ikx}=\varepsilon e^{\pm ikx});

(3)

&math(0\ge x); では &math(V(x)=V_0); より、

 &math(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}k'^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m(\varepsilon-V_0)}{\hbar^2}}\right)^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\varepsilon e^{\pm ik'x});

(4) 

 &math(\varphi_I(0)+\varphi_R(0)=\varphi_T(0));

 &math(\frac{d \varphi_I}{dx}(0)+\frac{d\varphi_R}{dx}(0)=\frac{d\varphi_T}{dx}(0));

(5)

&math(1+R=T);, &math(ik-ikR=ik'T); より、

 &math(k(1-R)=k'(1+R));

 &math(R=\frac{k-k'}{k+k'}, T=\frac{2k}{k+k'});

(6) 

 &math((左辺)&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k'\frac{4k^2}{(k+k')^2}\\
&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k\frac{4kk'}{(k+k')^2}\\
&=k\frac{k^2+2kk'+k'^2}{(k+k')^2}\\
&=k);

(7)

&math(k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}=(1/2)\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k/2); より、
&math(R=1/3,T=4/3);

 &math(kR^2+k'T^2=\frac{1}{3^2}k+\frac{4^2}{3^2}\frac{k}{2}=\frac{1+8}{9}k=k);

(8)

&math(V_0<0); のとき、&math(k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}>\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k); より、
&math(R=\frac{k-k'}{k+k'}<0); であり、

 &math(\varphi_I(0)=1>0);

に対して、

 &math(\varphi_R(0)=R<0);

となり、両者の位相は &math(\pi); 異なる。

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