一次元箱形障壁のトンネル のバックアップ差分(No.2)
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[[量子力学Ⅰ]] * 電子のエネルギーとポテンシャルエネルギー [#ha47b60e] 電子のエネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和であるから、 電子のエネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和であるから次式が成り立つ。 &math(\varepsilon = V(x) + \frac{p^2}{2m}); 古典力学においては、常に このため古典力学においては、常に (1) (電子のエネルギー) > (ポテンシャルエネルギー) が成り立った。 一方、量子力学では (2) (電子のエネルギー) < (ポテンシャルエネルギー) となる領域にも有限の確率密度を取り得ることを見てきた。 (1) では運動エネルギーは正であり、通常の運動量を持つのに対して、 (2) では運動エネルギーは負であり、すなわち運動量は虚数である。 (1) では運動エネルギーは正である。これは数学的には運動量が実数であるためである。 これに対応して、(1) に対応する位置においては波数 &math(k); は実数であり、 (2) では運動エネルギーは負である。すなわち運動量は虚数になる。 &math(e^{ikx); これらに対応して、(1) に対応する位置においては波数 &math(k=p/\hbar); は実数であり、 は振動する解を与える。(一般には &math(k); も位置の関数である) &math(e^{ikx}); 一方、(2) に対応する位置においては波数 &math(k); は虚数であり、 は振動する解を与える。 &math(k); はポテンシャルエネルギーの関数であるから、場所によって波長も異なる。 一方、(2) に対応する位置においては波数 &math(k=p/\hbar); は虚数であるから、 &math(k=i\lambda); と置けば、 &math(e^{ikx}=e^{-\lambda x}); となり、指数関数的に減衰する解を与える。 どちらの場合にも、 &math(p^2=\hbar^2k^2=2m\{\varepsilon-V(r)\}); より、 &math(k=\pm\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m\{\varepsilon-V(r)\}}); と書ける。(1) では √ 内部が正であるが、(2) では負となる。 次は調和振動子に対する波動関数を図示したものである。 上記の関係をこの図にあてはめて理解せよ。 &attachref(量子力学Ⅰ/調和振動子/harmonic2.png,,50%); &attachref(量子力学Ⅰ/調和振動子/harmonic1.png,,50%); * トンネル現象 [#xa22c51e]
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