量子力学Ⅰ/不確定性原理/メモ のバックアップ(No.3)

準備 †

$\hat \alpha$ はエルミートなので、その固有関数で $\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ に対する正規直交系 $\{\varphi_{\lambda_\alpha}\}$ を作れる。

$$\hat\alpha\varphi_{\lambda_\alpha}=\lambda_\alpha\varphi_{\lambda_\alpha}$$

$(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)\varphi_\alpha=0$ が成り立つなら、

$$\hat \alpha(\hat \beta\varphi_{\lambda_\alpha}) =\hat \beta\hat\alpha\varphi_{\lambda_\alpha} =\hat \beta\lambda_\alpha\varphi_{\lambda_\alpha} =\lambda_\alpha(\hat \beta\varphi_{\lambda_\alpha}) $$

すなわち、$\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}$ も $\varphi_{\lambda_\alpha}$ と同様に $\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat\alpha$ の固有関数である。

縮退のないとき †

$\varphi_{\lambda_\alpha}$ が縮退していないとき、すなわち $\lambda_\alpha$ の固有空間が１次元であるならここから

$$ \hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}\propto \varphi_{\lambda_\alpha} $$

が導かれるが、この係数を $\lambda_\beta$ と置けば、

$$ \hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}= \lambda_\beta\varphi_{\lambda_\alpha} $$

となって、$\varphi_{\lambda_\alpha}$ が同時に $\hat\beta$ の固有関数でもあることを示せる。

縮退のあるとき †

$\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat\alpha$ の固有空間に正規直交完全系 $\{\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ が取れるとする。

もしこの固有空間が $\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ の部分空間であるとすれば、すべての $k$ に対して $\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}$ はやはり $\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat \alpha$ の固有ベクトルであることになり、 定数係数 $\{b_{kk'}\}$ を用いて

$$ \hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'}b_{kk'}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')} $$

のように表せることになる。

行列 $B=\{b_{kk'}\}$ は $\{\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ を基底とする $\hat\beta$ の行列表現であり、$\hat\beta$ がエルミートであることから $B$ もエルミートとなる。したがって $UBU^\dagger$ を対角行列とするユニタリ行列 $U=\{u_{kk'}\}$ を見つけられる。

このとき、

$$ {\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'} u_{kk'}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')} \hspace{5mm}\leftrightarrow\hspace{5mm} \varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'} u_{k'k}^*{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k')} $$

に対して、

$$\begin{aligned} \hat\beta{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)} &=\sum_{k'} u_{kk'}\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')}\\ &=\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}} u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k^{\prime\prime})}\\ &=\sum_{k^{\prime}} \underbrace{\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}}u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}u_{k^{\prime\prime\prime}k^{\prime\prime}}^*}_{=\,(UBU^\dagger)_{kk^{\prime\prime\prime}}=\,\lambda_\beta^{(k)}}{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k^{\prime\prime\prime})}\\ &=\lambda_\beta^{(k)}{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)} \end{aligned}$$

が得られ、$\{{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ が同時固有関数からなる正規直交系となることが示された。

（$\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ に含まれる $\varphi$ に対して $\hat\beta\varphi$ がこの核空間から「はみ出す」可能性がないと言い切れるか？）