量子力学Ⅰ/不確定性原理/メモ のバックアップの現在との差分(No.3)

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#katex

* 可換な演算子には同時固有関数を見つけられる [#yd578141]

>$\varphi$ がエルミート演算子 $\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数であれば、
$(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)\varphi=0$ が成り立つ

が [[量子力学Ⅰ/不確定性原理#hb461116]] で示された。

ここではその逆を証明したい。すなわち、

>$\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ には
$\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数で正規直交完全系を取れる。

両方を合わせると、

>$\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha=0$ と、
$\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数が見つかることと、
は同値である

を言える。

** 準備 [#ha3d8a49]

$\hat \alpha$ はエルミートなので、その固有関数で
$\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$
に対する正規直交系 $\{\varphi_{\lambda_\alpha}\}$ を作れる。
$\text{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ において、 

$$\hat\alpha\varphi_{\lambda_\alpha}=\lambda_\alpha\varphi_{\lambda_\alpha}$$
$$\hat\alpha\hat\beta=\hat\beta\hat\alpha=\hat\beta^\dagger\hat\alpha^\dagger=(\hat\alpha\hat\beta)^\dagger$$

$(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)\varphi_\alpha=0$ が成り立つなら、
であるから $\hat\alpha\hat\beta$ はエルミートである。

$$\hat \alpha(\hat \beta\varphi_{\lambda_\alpha})
=\hat \beta\hat\alpha\varphi_{\lambda_\alpha}
=\hat \beta\lambda_\alpha\varphi_{\lambda_\alpha}
=\lambda_\alpha(\hat \beta\varphi_{\lambda_\alpha})
$$
すなわち $\hat\alpha\hat\beta$ の固有関数で正規直交完全系 $\{\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}\}$ を作れ、それらは $\hat\beta\hat\alpha$ の固有関数にもなる。

すなわち、$\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}$ も $\varphi_{\lambda_\alpha}$ 
と同様に $\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat\alpha$ の固有関数である。
$$\hat\alpha\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}=\lambda_{\alpha\beta}\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}=\hat\beta\hat\alpha\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}$$

** 縮退のないとき [#p51a3062]
$\hat\beta$ を掛けてみると、

$\varphi_{\lambda_\alpha}$ が縮退していないとき、すなわち $\lambda_\alpha$ 
の固有空間が１次元であるならここから

$$\hat\beta\hat\alpha\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}=\lambda_{\alpha\beta}\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}
$$
\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}\propto \varphi_{\lambda_\alpha}
$$

が導かれるが、この係数を $\lambda_\beta$ と置けば、
より、$\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}$ は固有値 $\lambda_{\alpha\beta}$ に属する $\hat\beta\hat\alpha$  の固有関数である。当然 $\hat\alpha\hat\beta$ の固有関数でもある。

$$
\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}= \lambda_\beta\varphi_{\lambda_\alpha}
$$
このとき、

となって、$\varphi_{\lambda_\alpha}$ が同時に $\hat\beta$ の固有関数でもあることを示せる。
$$(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}=0$$
 
が成り立ち、$\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}\in\text{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ であることも分かる。
 
** 同時固有関数による正規直交完全系の構築 [#o7b87f79]

** 縮退のあるとき [#n8165568]
「$\lambda_{\alpha\beta}$ を固有値とする $\hat\alpha\hat\beta$ の固有空間」と「 $\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ 」の交空間に正規直交完全系 $\{\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}\}$ が取れるとする。

$\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat\alpha$ の固有空間に正規直交完全系 
$\{\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ が取れるとする。
上で見たように、すべての $k$ に対して $\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}$ 
はやはり $\lambda_{\alpha\beta}$ を固有値とする $\hat \alpha\hat\beta$ の固有ベクトルであり、しかも $\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ に含まれるから、定数係数 $\{b_{kk'}\}$ を用いて

もしこの固有空間が $\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ 
の部分空間であるとすれば、すべての $k$ に対して $\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}$ 
はやはり $\lambda_\alpha$ を固有値とする $\hat \alpha$ の固有ベクトルであることになり、
定数係数 $\{b_{kk'}\}$ を用いて

$$
\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'}b_{kk'}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')}
\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}=\sum_{k'}b_{kk'}\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k')}
$$

のように表せることになる。
のように表せる。

行列 $B=\{b_{kk'}\}$ は $\{\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ 
行列 $B=\big(b_{kk'}\big)$ は $\{\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}\}$ 
を基底とする $\hat\beta$ の行列表現であり、$\hat\beta$ がエルミートであることから $B$ 
もエルミートとなる。したがって $UBU^\dagger$ を対角行列とするユニタリ行列 $U=\{u_{kk'}\}$ 
を見つけられる。
を見つけることができる。

このとき、

$$
{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'} u_{kk'}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')}
{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}=\sum_{k'} u_{kk'}\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k')}
\hspace{5mm}\leftrightarrow\hspace{5mm}
\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k)}=\sum_{k'} u_{k'k}^*{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k')}
\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}=\sum_{k'} u_{k'k}^*{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k')}
$$

に対して、

$$\begin{aligned}
\hat\beta{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)}
&=\sum_{k'} u_{kk'}\hat\beta\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k')}\\
&=\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}} u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}\varphi_{\lambda_\alpha}^{(k^{\prime\prime})}\\
&=\sum_{k^{\prime}} \underbrace{\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}}u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}u_{k^{\prime\prime\prime}k^{\prime\prime}}^*}_{=\,(UBU^\dagger)_{kk^{\prime\prime\prime}}=\,\lambda_\beta^{(k)}}{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k^{\prime\prime\prime})}\\
&=\lambda_\beta^{(k)}{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)}
\hat\beta{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}
&=\sum_{k'} u_{kk'}\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k')}\\
&=\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}} u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k^{\prime\prime})}\\
&=\sum_{k^{\prime\prime\prime}} \underbrace{\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}}u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}u_{k^{\prime\prime\prime}k^{\prime\prime}}^*}_{=\,(UBU^\dagger)_{kk^{\prime\prime\prime}}=\,\lambda_\beta^{(k)}\delta_{kk^{\prime\prime\prime}}}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k^{\prime\prime\prime})}\\
&=\lambda_\beta^{(k)}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}
\end{aligned}$$

が得られ、$\{{\varphi'}_{\lambda_\alpha}^{(k)}\}$ が同時固有関数からなる正規直交系となることが示された。
が得られる。さらに、

（$\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ に含まれる $\varphi$ に対して
$\hat\beta\varphi$ がこの核空間から「はみ出す」可能性がないと言い切れるか？）
$$\hat\alpha\hat\beta{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}
=\hat\alpha\lambda_{\beta}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}
=\lambda_{\alpha\beta}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}
$$

より、

$$\hat\alpha{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}=\underbrace{(\lambda_{\alpha\beta}/\lambda_{\beta})}_{\lambda_\alpha}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}$$

であるから、$\{{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}\}$ が $\hat\alpha,\hat\beta,\hat\alpha\hat\beta$ の同時固有関数からなる正規直交系となることが示された。

もともと異なる固有値に属する固有関数は直交するから、
全体として $\text{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ に対する $\hat\alpha,\hat\beta$ の同時固有関数からなる正規直交完全系が得られる。

* 質問・コメント [#i7408263]

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