量子力学Ⅰ/固有値と期待値 のバックアップ(No.2)

更新


量子力学I?

線形代数との対応

確率密度・期待値

[ベクトル]

\bm a

[ノルムの二乗]

\|\bm a\|^2=(\bm a,\bm a)

[波動関数]

\psi(\bm r,t)

[全確率密度]

\iiint |\psi(\bm r,t)|^2d\bm r=\iiint \psi^*(\bm r,t)\psi(\bm r,t)d\bm r

[規格化]

\bm e_a=\frac{1}{\|\bm a\|}\bm a

[規格化]

\Psi(\bm r,t)=\left[\iiint |\psi(\bm r,t)|^2d\bm r\right]^{-1/2}\psi(\bm r,t)

[$A_H$を挟んだ内積]

エルミートなので

(\bm a,A_H\bm a)=(A_H\bm a,\bm a)

[$\hat H$の期待値]

&math(\overline E&=\iiint \psi^*(\bm r,t)\hat H\psi(\bm r,t)d\bm r\\ &=\iiint \big(\hat H\psi(\bm r,t)\big)^*\psi(\bm r,t)d\bm r\\);

演習:物理量を表わす演算子のエルミート性

ここでは任意の f(x)\in U が境界条件 f(a)=f(b)=0 を満たすような関数空間 U を考える。

a=\infty,b=-\infty と取れば、現実的な問題では常にこの境界条件は満たされる。

(1) 演算子 \hat x:f(x)\mapsto xf(x) のエルミート共役が \hat x 自身になること、 すなわち \hat x がエルミート演算子であることを示せ。 (座標 x は実数であることに注意せよ)

(2) U において、演算子 \frac{d}{dx} のエルミート共役が -\frac{d}{dx} となることを上記の境界条件を用いて示せ。部分積分を使うと良い。

(3) U において、演算子 \hat p:f(x)\mapsto \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx} のエルミート共役が \hat p 自身になること、すなわち \hat p がエルミート演算子であることを示せ。

(4) エルミート演算子 \hat A,\hat B の和 \hat A+\hat B:f(x)\mapsto \hat Af(x)+\hat Bf(x) がエルミート演算子となることを示せ。

(5) エルミート演算子 \hat A,\hat B の積 \hat A\hat B:f(x)\mapsto \hat A\big(\hat Bf(x)\big) がエルミート演算子となることを示せ。

このように、境界でゼロとなる空間において、 \hat x,\hat p の和や積で表せる任意の演算子がエルミートになることが分かった。 一般に、任意の物理量は x,p の関数として表わすことができるが、 テイラー展開などにより x,p の和や積で表わすことが可能である。 したがって、任意の物理量に対応する演算子はエルミートになる。

当然、ハミルトニアン \hat H もエルミートである。

シュレーディンガー方程式・固有値

[ベクトル方程式]

i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\bm a(t)=A_H(t)\bm a(t)

[シュレーディンガー方程式]

i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)\psi(\bm r,t)

[固有値方程式]

E\bm a(t)=A_H\bm a(t)

[時間に依存しないシュレーディンガー方程式]

E\psi(\bm r,t)=\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)\psi(\bm r,t)

[$A_H$の固有値・固有関数]

E=E_1,E_2,\dots

\bm a=\bm a_1,\bm a_2,\dots

[エネルギー固有値・固有関数]

E=E_1,E_2,\dots

\psi(\bm r,t)=\psi_1(\bm r,t),\psi_2(\bm r,t),\dots

[対角化]

A_H\bm e_k=E_k\bm e_k のとき、

(\bm e_i,A_H\bm e_j)=(A_H)_{ij}=E_j\delta_{ij}

すなわち \{\bm e_k\} を基底にとれば A_H は対角行列である。

[固有関数に対する期待値]

\hat H\psi_k=E_k\psi_k のとき、

\iiint \psi_i^*(\bm r,t)\hat H\psi_j(\bm r,t)d\bm r=E_j\delta_{ij}

[固有ベクトルによる展開]

\bm a=\sum_{k=1}^\infty c_k\bm e_k ならば、

&math((\bm a,A_H\bm a)&=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2(\bm e_k,A_H\bm e_k)\\ &=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2E_k);

[固有関数による展開]

\Psi=\sum_{k=1}^\infty c_k\psi_k ならば、

&math(\overline E&=\iiint \Psi^*(\bm r,t)\hat H\Psi(\bm r,t)d\bm r\\ &=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2E_k );


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