場の量子化（第２量子化） のバックアップソース(No.1)

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[[量子力学Ⅰ]]

* 場の量子化 [#f248fdc4]

ハートレー・フォック法ではフォック方程式の解に現れる
正規直交完全系 &math(\set{\varphi_k(\bm r)}); から任意の &math(n); 
個を選んで、フェルミ粒子であればスレーター行列式、
ボーズ粒子であればスレーター行列のパーマネントを作ることで、
多体波動関数の近似解を得た。

ボーズ粒子の波動関数はスレーター行列に解を並べる順番によらないため、
「エネルギーの低い方から数えて &math(k); 番目の固有関数を &math(n_k); 個取る」
という &math(\set{n_k}); を指定してしまえば、それで１つの解が得られることになる。

フェルミ粒子ではスレーター行列の２つの行を入れ替えると
波動関数の負号が反転するため、&math(\set{n_k}); 
に加えて「それらをどの順番で並べるか」も重要になる。
また１つの状態に複数粒子は入れないため &math(n_k=0\ \mathrm{or}\ 1); である。

このようなモデルを扱う便利な方法として、
場の量子化の手法が確立された。

** 名前の由来 [#r91f7c42]

以下は演算子のお遊び的になっていて、あまり「場の量子化」の雰囲気がないかもしれない。

この体系は、古典論から量子論への移行が、
正準変数（例えば &math(\bm r);）と正準運動量（例えば &math(\bm x);）で書かれた系のエネルギー
すなわちハミルトニアンの正準運動量を演算子に置き換えて波動方程式を得る、
という手順で行われたのに対して、

波動関数 &math(\Psi); で書かれた系のエネルギー（の期待値）

　&math(
<E>=\int \Psi^* \hat H \Psi d\bm r
);

を、___粒子の波動関数自体を正準変数に見立てて演算子化し___、
___系の波動関数に対する方程式を得る___、という手順で体系化したものになっている。

その意味で、古典論の粒子 → 粒子の波動関数 → 系の波動関数 
という２段階の量子化手順を踏んでいるとして「第２量子化」と呼ばれたり、

波動関数 ＝ 場 を変数に見立てた量子化であるから「場の量子化」と呼ばれたりする。

* 生成・消滅演算子 [#p2ac85a8]

あるスレーター行列で表される状態の左端に &math(\phi_k); 
を追加する演算子を &math(\hat c_k^\dagger); とする。

粒子の個数がゼロである状態を &math(\ket 0); で表せば、例えば

　&math(
\Phi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n)=|\,\varphi_\alpha,\varphi_\beta,\varphi_\gamma,\varphi_delta\,|
);

を表す状態は、

　&math(
\hat c_\alpha \hat c_\beta \hat c_\gamma \hat c_\delta \ket 0
);

と記述できる。

一方、一番左にある &math(\varphi_k); を消す消滅演算子を &math(\hat c_k); と書くことにする。
&math(\hat c_k\hat c_k^\dagger=1); である。
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