量子力学Ⅰ/水素原子/メモ のバックアップソース(No.2)

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[[量子力学Ⅰ/水素原子]]

#mathjax

* $\chi$ に関する方程式 [#k100457f]

　&math(\frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}\chi-\frac{1}{n^2}\chi=0);

&math(\chi=X(\rho)e^{-\rho/n}); と置けば、

　&math(
\frac{\PD^2}{\PD\rho^2}X(\rho)e^{-\rho/n}
&=\frac{\PD}{\PD\rho}X'(\rho)e^{-\rho/n}-\frac{1}{n}\frac{\PD}{\PD\rho}X(\rho)e^{-\rho/n}\\
&=X''(\rho)e^{-\rho/n}-\frac{2}{n}X'(\rho)e^{-\rho/n}+\frac{1}{n^2}X(\rho)e^{-\rho/n}\\
);

を使って、

　&math(
X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\cancel{\frac{1}{n^2}X(\rho)}
+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)-\cancel{\frac{1}{n^2} X(\rho)}=0
);

　&math(
X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)=0
);

&math(X(\rho)=\sum_{i=0}^\infty c_k\rho^k); と置けば、

　&math(
&X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)=0\\
);

　&math(
&\sum_{i=0}^\infty k(k-1)c_k\rho^{k-2}-\frac{2}{n}\sum_{i=0}^\infty kc_k\rho^{k-1}
+\sum_{i=0}^\infty 2c_k\rho^{k-1}-\sum_{i=0}^\infty l(l+1)c_k\rho^{k-2}=0\\
);

　&math(
&\sum_{i=0}^\infty (k+2)(k+1)c_{k+2}\rho^k-\frac{2}{n}\sum_{i=0}^\infty (k+1)c_{k+1}\rho^k
+\sum_{i=-1}^\infty 2c_{k+1}\rho^k-\sum_{i=-2}^\infty l(l+1)c_{k+2}\rho^{k}=0\\
);

　&math(
-l(l+1)&c_0\rho^{-2}+\{-l(l+1)c_{1}+2c_0\}\rho^{-1}+\\
&\sum_{i=0}^\infty \big[\big\{(k+1)(k+2)-l(l+1)\big\}c_{k+2}
+2\big\{-(k+1)/n+1\big\}c_{k+1}\big]\rho^k=0\\
);

すなわち、

　&math(
\left\{
\begin{array}{ll}
l(l+1)c_0=0\\[1mm]
l(l+1)c_{1}=2c_0\\[1mm]
n\big\{k(k+1)-l(l+1)\big\}c_{k+1}=-2(n-k)c_{k}&\ \ (k\ge 1)
\end{array}
\right.
);

第３式は &math(k); の大きいところでは近似的に

　&math(c_{k+1}=\frac{2}{nk}c_{k});

を表わし、これは &math(\exp(2x/n)); をマクローリン展開したときの係数と同じであるから、
&math(k\to\infty); で &math(c_k\ne 0); であれば &math(\rho\to \infty); で &math(\chi); 
は発散してしまう。つまり、&math(c_k); は有限の &math(k); で打ち切られなければならない。

&math(l=0); の場合には、

　第２式より &math(c_0=0);~
　第３式より &math(c_{k+1}=-\frac{2(n-k)}{nk(k+1)}c_{k}\ \ (k\ge 1));

ある &math(k>n); に対して &math(c_k\ne 0); であれば、それより大きな任意の &math(k); で 
&math(c_k\ne 0); となってしまうから、&math(k>n); では &math(c_k=0); でなければならない。
このとき、&math(c_1); の値を決定すれば &math(0<k\le n); 漸化式を使ってすべての &math(c_k); を決定できる。

&math(l\ge 1); の場合には、

　第１式より &math(c_0=0);~
　第２式より &math(c_1=0);~
　第３式より &math(c_k=0);　&math((k<l));

&math(l=0); の時と同様に、&math(k>n); に対しては &math(c_k=0); でなければならないから、
&math(n>l); でなければすべての &math(c_k); がゼロになってしまう。
&math(n>l); が成り立つ場合には、&math(c_{l+1}); を決めれば、
第３式より &math(l<k\le n); に対して &math(c_k); がすべて決まる。

まとめると、

- &math(n); は &math(l<n); を満たす整数でなければならない
- &math(c_k); は &math(l+1\le k\le n); の範囲のみ値を持つ
- &math(c_k); の漸化式は &math(c_{k+1}=-\frac{2(n-k)}{n\big\{k(k+1)-l(l+1)\big\}}c_{k});

具体的には、

&math(n=1); のとき、

　　&math(l=0); であれば &math(\chi_{1s}(\rho)=c_1\rho e^{-\rho});

&math(n=2); のとき、

　　&math(l=0); であれば &math(\chi_{2s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{1}{2}\rho^2 \right]e^{-\rho/2});

　　&math(l=1); であれば &math(\chi_{2p}(\rho)=c_2\rho^2e^{-\rho/2});

&math(n=3); のとき、

　　&math(l=0); であれば &math(\chi_{3s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{2}{3}\rho^2+\frac{2}{27}\rho^3 \right]e^{-\rho/3});

　　&math(l=1); であれば &math(\chi_{3p}(\rho)=c_2\left[\rho^2-\frac{1}{6}\rho^3 \right]e^{-\rho/3});

　　&math(l=2); であれば &math(\chi_{3d}(\rho)=c_3\rho^3e^{-\rho/3});

&math(n=4); のとき、

　　&math(l=0); であれば &math(\chi_{4s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{3}{4}\rho^2+\frac{1}{8}\rho^3-\frac{1}{192}\rho^4 \right]e^{-\rho/4});

　　&math(l=1); であれば &math(\chi_{4p}(\rho)=c_2\left[\rho^2-\frac{1}{4}\rho^3+\frac{1}{80} \right]e^{-\rho/4});

　　&math(l=2); であれば &math(\chi_{4d}(\rho)=c_3\left[\rho^3-\frac{1}{12}\rho^3 \right]e^{-\rho/4});

　　&math(l=3); であれば &math(\chi_{4f}(\rho)=c_4\rho^4e^{-\rho/4});
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